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「異なる2つの無理数の積は無理数である。」という命題の真偽について教えてください。
 また、その理由も出来れば教えていただければありがたいです。
 試験の過去問で出題されてるんですが、どうしてもわかりませんTT
 感覚的には「真」かな?って思ってるんですが。。。
(偽の場合には反例をあげよとありますが、反例も思いつきませんTT)
 よろしくお願いいたします。

gooドクター

A 回答 (14件中1~10件)

偽です。


√2と2√2は異なる二つの無理数ですが
√2×2√2=4は有理数です。
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
異なる無理数ってことで、√a×√bっていうのばかり考えてました。
√a×b√aも有効なんですね^^
頭が固い証拠ですねTT
ありがとうございました。

お礼日時:2004/03/18 18:34

なんか、盛り上がってきましたね。



現在、
a、bは互いに素 (この時点でa、bは自然数といっている)
√a、√bは無理数とした時、
√a×√bは無理数である。は真。

じゃあ、
a1、a2、b1、b2は自然数、
√(a1/a2)、√(b1/b2)は無理数とした時、
√(a1/a2)×√(b1/b2)は無理数。

の真偽ですが、これは明らかに偽ですよね。
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この回答へのお礼

いろいろと皆さん、ありがとうございました。
また、分からないことがあれば、お尋ねするかもしれませんが、よろしくお願いいたします。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2004/03/22 01:33

#11のKENZOUです。

#12のhinebotさんのご説明で完璧と思います。よく読まないとこのようなことに、、、(反省^^;)大変失礼しました。それにしてもこのテーマはホットですね。
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この回答へのお礼

皆さん、いろいろとありがとうございました。
このテーマがホットって意味がよく分かりませんが、まだまだ勉強不足だということが身にしみて分かりましたTT
15年以上勉学から離れてたので、これからがんばって生きたいと思います。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2004/03/22 01:32

一応指摘を受けましたので。



>a=1,b=4とした場合、√a×√b=2となって、この場合は整数となりますね。

「√a,√bが無理数である」としてますので、この条件で、a=1,b=4は弾かれます。というか#10の(1)の説明でa,bのどちらかが1の場合も満足していると思いますが…。
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横合いからなんなんですが、#8のhinebotさんの回答で


>a,bは互いに素
の条件だけでは少しゆるいのではと思いますが。1とその他の整数は必ず互いに素である、ということからするとa=1,b=4とした場合、√a×√b=2となって、この場合は整数となりますね。したがって、条件としては
「aあるいはbいずれかが1でない互いに素な数値」とすべきではないかと、、、尤も、そんなことは既にうたってあるということであれば私の読み落しですからご容赦ください。
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#8です。



自分で読み直してみると、ちょっと分かりにくいみたいなので、
-----------------------------------------------
mは整数なので、√(ab) が整数にならなければならない。
しかし、√(ab)が整数とすると、「a,b が互いに素である」ことか、「√a,√bが無理数である」ことのどちらかに必ず反する。
(「a,b が互いに素である」とすると「√a,√bが無理数である」ことに反し、「√a,√bが無理数である」とすると「a,b が互いに素である」ことに反する。つまり、両方同時には成り立たない。)
-----------------------------------------------
の部分について、補足。

√(ab)が整数であるとする。

(1) 「a,b が互いに素である」とき
ab=t^2 となる整数tが存在するには、整数p,q(p,qは互いに素)があって
a=p^2,b=q^2と表せる必要がある。
すると、√a=p,√b=q となり、「√a,√bが無理数である」ことに反する

(2)「√a,√bが無理数である」とき
ab=t^2 となる整数tが存在するには、abを素因数分解したときに(素数)^2 の積の形にならなければならない。
(素数)^2 の積の形である数をa,b 二つの数に分解したとき、どのように分けてもaとbに必ず共通な素因数が存在するため、「a,bが互いに素である」ことに反する。(互いに素になるように分けることはできない。)

これでOKかな。
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>a,bは互いに素。


>√a,√bは無理数。
>とした時、
>√a×√bは無理数である。
>の命題の真偽ですね。
自分でNo.2で分母分子が整数で表せるうんぬんいっていたのにぼけてましたね。
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#7さんへ



積に分解するのは、証明として無理があるように思うのですが。

-----------------------------------------------
a,bは互いに素。
√a,√bは無理数で、c=√a×√b=√(ab) が有理数だと仮定する。
有理数なので、m,nを互いに素である整数(n≠0)として c=m/n と表せる
c=m/n =√(ab) より m = n√(ab)
mは整数なので、√(ab) が整数にならなければならない。
しかし、√(ab)が整数とすると、「a,b が互いに素である」ことか、「√a,√bが無理数である」ことのどちらかに必ず反する。
(「a,b が互いに素である」とすると「√a,√bが無理数である」ことに反し、「√a,√bが無理数である」とすると「a,b が互いに素である」ことに反する。つまり、両方同時には成り立たない。)

よって、背理法により√a×√bは無理数
-----------------------------------------------
これでどうでしょうか?
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a,bは互いに素。


√a,√bは無理数。
とした時、
√a×√bは無理数である。
の命題の真偽ですね。

これなら真だと思います。

c=√a×√b
cは有理数と仮定して、
c^2=a×b
c=d×e
d,eも有理数
とすると、
d^2×e^2=a×b
よって、
a=d^2,b=e^2 ・・・(1)
または、
a=e^2,b=d^2 ・・・(2)
または、
a=b=d×e ・・・(3)

(1)は、√a=dや√b=eの為、
(2)は、√a=eや√b=dの為、
それぞれ√a、√b共に無理数では無い。
(3)は、a=bの為、互いに素に反する。

背理法により、√a×√bは無理数

で証明できてるかなぁ。
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#5です。


すいません。訂正です。

>例えば、a=18,b=30とかですね。
a=18,b=50
でした。

ついでなので、一応書きますが、
>a=n^2*k,b=m^2*k、(kは平方数でない自然数)という形であれば満たします。
の部分で、n,mは自然数です。
bがaの整数倍でないという条件が必要なら、mがnの整数倍でないとすればいいですが、わざわざつける必要はないでしょう。

あと、#5の最後の行は、なかったことにしてください。

この回答への補足

私の追加の説明が不十分でした。
bがaの整数倍ではないって言う必要条件では、そのとおりですね。
たびたびすみませんが、
a=n√k、b=m√k(n,mは自然数、kは平方根でない自然数)の形で表せない場合は、どうなるんでしょうか?
eatern27さんの事例(反例)のまさしく反対の場合の想定ですが、気になってしまいました。よろしくお願いいたします。

補足日時:2004/03/18 23:49
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