ベクトルの問題

三角形OABがあり、OA=a,OB=bとおくとき
|a|=1,|a+b|=|2a+b|=√7
が成り立つ。

(1)|AB|を求めよ。

(2)点Pが三角形OABの外接円上を動くとき、三角形PABの面積の最大値を求めよ。

(3)点QがOを中心とし、半径|OA|の円上を動くとき、三角形QABの面積の最大値を求めよ。

この問題の解説よろしくお願いします。

(1) は√13という値を求めることができました。

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/02/14 11:41

(1)　|a+b|^2=(√7)^2 より

|a|^2+2ab+|b|^2=7
|a|=1, |a+b|=√7 を代入して
1+2ab+|b|^2=7
2ab+|b|^2=6 ･･････ ①
|2a+b|^2=(√7)^2 より
4|a|^2+4ab+|b|^2=7
|a|=1, |a+b|=√7 を代入して
4+4ab+|b|^2=7
4ab+|b|^2=3 ･･････ ②
①－②より
－2ab=3
ab=－(3/2)
① に代入して
－3+|b|^2=6
|b|^2=9
|b|>0 より
|b|=3
よって
|AB|^2=|b－a|^2=|b|^2－2ab+|a|^2=9+3+1=13
|AB|>0 より
|AB|=√13

(2)　ab=|a||b|cos∠AOB より
－(3/2)=1･3･cos∠AOB
cos∠AOB=－(1/2)
0°<∠AOB<180° より
∠AOB=120°
∠AOB が鈍角だから
△PABの面積を最大にする点Pは、
辺ABの垂直二等分線と△OABの外接円の交点のうち、Oと反対側にある点である。
四角形OAPBがこの円に内接するから
∠APB=60°
よって、△PABは正三角形になる。
したがって、
△PAB=(1/2)･√13･√13･sin60°=(1/2)･√13･√13･(√3)/2=(13√3)/2

(3)　△QABの面積を最大にする点Qは、
Oを通り、辺ABに垂直な直線と円O交点のうち、点Oと同じ側にある点が点Qである。
Oから辺ABに引いた垂線の足をHとすると
OH=ta+(1－t)b
OH⊥AB より
OH･AB=0
(ta+(1－t)b)･(b－a)=0
tab－t|a|^2+(1－t)|b|^2－(1－t)ab=0
－(3/2)t－t+9(1－t)+(3/2)(1－t)=0
－(3/2)t－t+9－9t+(3/2)－(3/2)t=0
13t=21/2
t=21/26
よって
OH=(21/26)a+(5/26)b
これより
|OH|^2=|(21/26)a+(5/26)b|
=(1/26)^2(441|a|^2+210ab+25|b|^2)
=(1/26)^2(441－315+225)
=351/(26)^2
|OH|> より
|OH|=(3√39)/26
QH=QO+OH=1+(3√39)/26=(26+3√39)/26

したがって、
△QAB=(1/2)･AB･QH
=(1/2)･√13･(26+3√39)/26
=(26√13+39√3)/52
（=(√13)/2+(3√3)/4）

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。
おかげさまで理解できました。

お礼日時：2016/02/14 21:42