この問題の解き方教えてください！高1です。

この問題の解き方教えてください！高1です。

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2019/06/24 17:59

x²-x-1 = (x-a)(x-b) = 0

ただし a>b

(x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab
より、係数比較して
a+b=1
ab=-1


(1)
二次方程式の解の公式より
x={1±√(1+4)}/2 =(1±√5)/2
a>b なので
a=(1+√5)/2
b=(1-√5)/2

1/a =2/(1+√5) =2(1-√5)/(1+√5)(1-√5)
=2(1-√5)/(1-5) =-(1-√5)/2　　　　　　＃ 1/a=-b

(2)
a² -1/a² =(a -1/a)(a +1/a) =(a+b)(a-b) =a-b
=(1+√5)/2 -(1-√5)/2 =√5

1/a=-b より 1/b=-a であることに注意して、
1 -1/b² =1 -(1/b)² =1 -a² =-ab -a² =-a(b+a) =-a　　　＃ 1 -1/b²=-a
=-(1+√5)/2

(3)
a⁴-1 =a⁴+(ab)²-(ab)²-1 =a⁴+a²b² -1-1 =a²(a²+b²) -2
=a²(a²+b²+2ab-2ab) -2 =a²(a²+2ab+b²) -2a³b -2
=a²(a+b)² -2a²(ab) -2 =a² -2a²・(-1) -2 =a²+ 2a² -2 =3a²-2
=3a²-3 +1 =3a²+3ab +1 =3a(a+b)+1 =3a+1　　　　　＃ a⁴-1=3a+1
=3(1+√5)/2 +1 =(3+3√5)/2 +2/2 =(5+3√5)/2

a⁴+b²-3/b² +2 =a⁴-1 +1 +b²+3(1 -1/b²) -3 +2 =a⁴-1 +b²+3(1 -1/b²)
=3a+1 +b² +3(-a) =b²+1
=b²+ab-ab+1 =b(a+b)+1+1 =b+2
=(1-√5)/2 +2 =(5-√5)/2


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式変形を繰り返し次数を減らすことにより、
２次以上の計算をしなくても回答が得られます。
ですが、複雑な式変形で悩むくらいなら、
そのまま計算してしまうほうが早いかもしれませんね。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/23 09:42

(1)ｘ＝(1±√５)/2よりa=(1+√５)/2. 1/a=2/(1+√５)=2(1-√５)/(1+√５)(1-√５)=-(1-√５)/2

(2)a²-1/a²＝(1+√５)²/4-(1-√５)²/４＝√５,1-1/b²＝（ｂ²-1)/b²＝-(1+√５)/2
(3)(2)よりa⁴-1＝√５a²＝√５(1+√５)²/4＝(5+3√５)/2
a⁴+b²－3/b²＋２＝ a⁴-1+b²+3(1－1/b²)=(5+3√５)/2+(3-√５)/2-3(1+√５)/2
=(5-√５)/2
です。