ab>a+bは常に成り立つでしょうか?

a,bが2以上のとき、ab≧a+bは常に成り立つような気がするのですが、証明できません。
本当に成り立つのでしょうか？
もし成り立たなければ、ab≧a+bが成り立つ条件を示していただけないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/12/13 11:31

左辺を移項して、

ａｂ－ａ－ｂ＝（ａ－１）＊（ｂ－１）－１
ですから、ａ＞＝２、ｂ＞＝２であればａ－１＞＝１、ｂ－１＞＝１であり、（ａ－１）＊（ｂ－１）＞＝１です。
　従って（ａ－１）＊（ｂ－１）－１＞＝０　になります。

この回答への補足

ちなみに、
ａｂ－ａ－ｂ＝（ａ－１）＊（ｂ－１）－１
このような変形は他にもバリエーションがあるのでしょうか？

補足日時：2009/12/13 20:03

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
ａｂ－ａ－ｂ＝（ａ－１）＊（ｂ－１）－１
の変形はどうやったら思いつくのでしょうか？
私には次数が2次未満の式を平方完成(1次式の場合もそういうのでしょうか？)する発想がありません。
馴れですか？

お礼日時：2009/12/13 20:03

No.5 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/12/13 22:00

　＃１です。

ａｂ－ａ－ｂは確かにａ、ｂそれぞれについて一次ですが、積という意味でいうと二次式と同じなので、二次不等式の常法として積の形に持ち込むことを考えたわけです。
　他の変形としては因数分解の式の応用でしょうか。

この回答への補足

ちなみに、今回の質問も含め、http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5520215.html
の方で解決していただきました！皆さんありがとうございます！

補足日時：2009/12/14 11:26

この回答へのお礼

なるほど！1次式に見えて実は2次式なんですね！
2次式の定義を知っていればそもそも1次式にさえ見えないわけですが・・・
自分の勉強不足でした！ありがとうございます！！！

お礼日時：2009/12/14 11:24

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/12/13 14:04

> ab>a+bは常に成り立つでしょうか?

たとえば
a=b=2の時やa=b=1の時成り立ちません。
なので常に成り立つとはいえません。

> a,bが2以上のとき、ab≧a+bは常に成り立つような気がするのですが、証明できません。

成り立ちます。

a≧2, b≧2の時

　1≧2/a
　1≧2/b

辺々加えて

　2≧(2/b)+(2/a)

2で割ると

　1≧(1/b)+(1/a)

ab(>0)を両辺にかけて

　ab≧a+b

（証明終わり）

この回答へのお礼

なるほど！不等式の証明の基本でした！
自分の応用力のなさに愕然としています・・・
ありがとうございます！

お礼日時：2009/12/13 18:22

No.3 回答者： r310 回答日時： 2009/12/13 11:59

■a=bの場合

a≧2
両辺に2を掛けると
a^2≧2a
ab≧a+b自体もa=bなので、証明すべき式は
a^2≧2a
となるので、成立
■a>bの場合
両辺にaを足すと
2a＞a+b
両辺にaをかけると
a^2＞ab
よって、2aよりabが大きくなれば、ab>a+bが成立
ab-2a=a(b-2)　b>2の為、a(b-2)>0
よってab>2a→ab>a+b成立

如何でしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます！しっかり理解できました！
こんな問題が基本問題であったような気がしないでもないです・・・

お礼日時：2009/12/13 18:35

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/12/13 11:31

ab-a-b = ab -a-b +1 -1 = (a-1)(b-1)-1

なので，
b= (1/(a-1)) + 1
のグラフを考えて，
a>=2, b>=2の領域と
b >= (1/(a-1)) + 1の領域の
包含関係を考えれば分かります．

この回答への補足

不等式の証明の方法から
ab ≧ a+b
ab-a-b = (a-1)(b-1)-1
までは分かるのですが、ab と a+b を比較したいのに、なぜ
b= (1/(a-1)) + 1
と、bについてのグラフ(しかも等式の)を考えなければいけないのでしょうか？

補足日時：2009/12/13 19:19

この回答へのお礼

すいません、考えましたがよくわかりませんでした・・・

お礼日時：2009/12/13 19:18