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Gを位数が6の群とする
G≅Z/6Z or S3 のどちらかに同型になることを示したいのですが、
シローの定理からP3:3-Sylow部分群 s3:P3の個数 P2:2-Sylow部分群 s2:P2の個数
とすると、シローの定理からs3=1、s2=1,3となり、
(1)s2=1の時は、G≅Z/2Z×Z/3Z≅Z/6Z
ということは分かったのですが、
(2)s2=3の時はG≅S3になると思うのですが、これをどう示したらよいかが分かりません。
教えていただけませんですか?

gooドクター

A 回答 (1件)

シローの定理より


2シロー群{e,a}が存在
3シロー群{e,b,b^2}が存在.3シロー群はひとつしかない.

そこで ab の位数 o(ab) を考える

o(ab)=1,2,3,6である

o(ab)=1ならば ab=e,b=a^{-1}=aで不適

o(ab)=6ならば 位数6の群Gに位数6の要素があるので
Gは巡回群Z/6Z

o(ab)=2ならば abab=e つまり aba=b^{-1}
つまり Gはa^2=e, b^3=e aba=b^{-1}で生成される群でありこれは
三次二面体群D_3すなわち3次対称群S_3

o(ab)=3ならば
abが生成する巡回群<ab>は3シロー群
3シロー群はひとつしかないので
ab=e,b,b^2
ab=eは不適
ab=bも不適
ab=b^2も不適
よってo(ab)は3とはならない

以上より
位数6の有限群は
巡回群か3次の対称群

実際はもっと強いことがいえて
素数p,qに対して
位数pqの群が決定できます
シローの定理と自己同型の組合せ
♯ぐぐると力作のPDFがすぐ見つかります
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
少し分かったような気がします

お礼日時:2012/01/22 10:20

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