No.1ベストアンサー
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シローの定理より
2シロー群{e,a}が存在
3シロー群{e,b,b^2}が存在.3シロー群はひとつしかない.
そこで ab の位数 o(ab) を考える
o(ab)=1,2,3,6である
o(ab)=1ならば ab=e,b=a^{-1}=aで不適
o(ab)=6ならば 位数6の群Gに位数6の要素があるので
Gは巡回群Z/6Z
o(ab)=2ならば abab=e つまり aba=b^{-1}
つまり Gはa^2=e, b^3=e aba=b^{-1}で生成される群でありこれは
三次二面体群D_3すなわち3次対称群S_3
o(ab)=3ならば
abが生成する巡回群<ab>は3シロー群
3シロー群はひとつしかないので
ab=e,b,b^2
ab=eは不適
ab=bも不適
ab=b^2も不適
よってo(ab)は3とはならない
以上より
位数6の有限群は
巡回群か3次の対称群
実際はもっと強いことがいえて
素数p,qに対して
位数pqの群が決定できます
シローの定理と自己同型の組合せ
♯ぐぐると力作のPDFがすぐ見つかります
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