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数学で平方完成というのがありますが、それなら立方完成というのは存在するのでしょうか?
また、4乗完成や5乗完成というのは存在するのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (2件)

 平方完成では、例えばxに関する二次式を (x+a)^2 + b という形に変形します。



 一般的には、x^2 + ax + b = (x + a/2)^2 + (b - a^2/4)

※ 最後の(  )はなくてもいいのですが、定数項をまとめてあります。
※ x^2 の係数が 1 でないときは、全体をその係数で割ったもので考えればよい。

 さて、「立法完成」というのを、「xに関する3次式を  (x+a)^3 + b というかたちに変形する」ということとすれば、一般的にはできません。
  (x+a)^3 + bx + c のように、あまりをxの一次式にするならできます。

x^3 + ax^2 + bx + c = (x + a/3)^3 + (b - a^2/3)x + (c - a^3/27)

これは、x^3 + ax^2 + bx + c というしきと、(x + p)^3 を展開した式とを比べればでてきます。

4次式以上でも同じようにできるはずですから、考えてみてください。

この回答への補足

4次式や5次式の場合は4乗完成や5乗完成という名称でよいのでしょうか?

補足日時:2011/03/18 21:30
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この回答へのお礼

なるほど、やはり立方完成も存在するのですか。
N次式の時は(N-1)次の項を無くせばよいわけですね。

平方完成や立方完成をお手本にして、4次式の場合も計算してみました。
そしたら次の式になりました。

x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x+a/4)^4+(b-3(a^2)/8)x^2+(c-(a^3)/16)x+(d-(a^4)/256)

こんな感じでよろしいのですよね。

回答有難うございました。

お礼日時:2011/03/18 21:28

あります。

例えば立方完成は次のようになります。
a³+b³=a³+3a²b+3ab²+b³-3a²b-3ab²
   =(a+b)³-3ab(a+b)
   =(a+b){(a+b)²-3ab}
   =(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=a³-3a²b+3ab²-b³+3a²b-3ab²
   =(a-b)³+3ab(a-b)
   =(a-b){(a-b)²+3ab}
   =(a-b)(a²+ab+b²)
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この回答へのお礼

回答有難うございました。
でもこれって因数分解しただけなのでは・・・
もしかして立方完成って因数分解の公式なの?

お礼日時:2011/03/18 20:13

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