数学です！

a , bを自然数とする。
(1)abが3の倍数であるとき、aまたはbは3の倍数であることを示せ。
(2)a+bとabがともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数であることを示せ。
(3)a+bとa二乗+b二乗がともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数であることを示せ。
整数の性質の問題です。
わかる方いますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/12/16 20:16

（１）abとは、a × b ということでよいですね？

　a × b が3の倍数であれば、適当な自然数 k に対して
　　a × b = 3 × (a × b) / 3 = 3 × k
　　ただし、k = (a × b) / 3
と書けます。
　従って、
　　k = a/3 × b　　（A）
または
　　k = a × b/3　　（B）
となります。
　k が自然数であるためには、少なくとも a, b の一方が3の倍数であることが必要です。

（２）上記の（１）から、abが3の倍数であれば、aまたはbは3の倍数でです。このうち、aを3の倍数としても一般性を失わないので、適当な自然数 m を用いて、
　　a = 3 × m　　（Ｃ）
とします。すると、
　　a + b = 3 × m + b
と書け、これが3の倍数であることから、適当な自然数 n を用いて、
　　a + b = 3 × m + b = 3 × n 　（Ｄ）
と書けます。これより
　　b = 3 × n - 3 × m = 3 × ( n - m )
となり、b も3の倍数となることが分かります。

（３）適当な自然数 P、ｑを用いて、
　　a + b = 3 × p 　（E）
　　a^2 + b^2 = 3 × q 　（F）
（E）を2乗すると
　　(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 9p^2
これに（F）を代入すれば
　　9q^2 + 2ab = 9p^2
　∴ 2ab = 9 (p^2 + q^2 )
2ab が9の倍数であるためには、ab が9の倍数でなければなりません。
　9の倍数ということは、3の倍数ですから、上記の（２）より、aとbはともに3の倍数であることになります。