教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

a , bを自然数とする。
(1)abが3の倍数であるとき、aまたはbは3の倍数であることを示せ。
(2)a+bとabがともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数であることを示せ。
(3)a+bとa二乗+b二乗がともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数であることを示せ。
整数の性質の問題です。
わかる方いますか?

gooドクター

A 回答 (1件)

(1)abとは、a × b ということでよいですね?


 a × b が3の倍数であれば、適当な自然数 k に対して
  a × b = 3 × (a × b) / 3 = 3 × k
  ただし、k = (a × b) / 3
と書けます。
 従って、
  k = a/3 × b  (A)
または
  k = a × b/3  (B)
となります。
 k が自然数であるためには、少なくとも a, b の一方が3の倍数であることが必要です。

(2)上記の(1)から、abが3の倍数であれば、aまたはbは3の倍数でです。このうち、aを3の倍数としても一般性を失わないので、適当な自然数 m を用いて、
  a = 3 × m  (C)
とします。すると、
  a + b = 3 × m + b
と書け、これが3の倍数であることから、適当な自然数 n を用いて、
  a + b = 3 × m + b = 3 × n  (D)
と書けます。これより
  b = 3 × n - 3 × m = 3 × ( n - m )
となり、b も3の倍数となることが分かります。

(3)適当な自然数 P、qを用いて、
  a + b = 3 × p  (E)
  a^2 + b^2 = 3 × q  (F)
(E)を2乗すると
  (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 9p^2
これに(F)を代入すれば
  9q^2 + 2ab = 9p^2
 ∴ 2ab = 9 (p^2 + q^2 )
2ab が9の倍数であるためには、ab が9の倍数でなければなりません。
 9の倍数ということは、3の倍数ですから、上記の(2)より、aとbはともに3の倍数であることになります。
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