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- 回答日時:
(1)abとは、a × b ということでよいですね?
a × b が3の倍数であれば、適当な自然数 k に対して
a × b = 3 × (a × b) / 3 = 3 × k
ただし、k = (a × b) / 3
と書けます。
従って、
k = a/3 × b (A)
または
k = a × b/3 (B)
となります。
k が自然数であるためには、少なくとも a, b の一方が3の倍数であることが必要です。
(2)上記の(1)から、abが3の倍数であれば、aまたはbは3の倍数でです。このうち、aを3の倍数としても一般性を失わないので、適当な自然数 m を用いて、
a = 3 × m (C)
とします。すると、
a + b = 3 × m + b
と書け、これが3の倍数であることから、適当な自然数 n を用いて、
a + b = 3 × m + b = 3 × n (D)
と書けます。これより
b = 3 × n - 3 × m = 3 × ( n - m )
となり、b も3の倍数となることが分かります。
(3)適当な自然数 P、qを用いて、
a + b = 3 × p (E)
a^2 + b^2 = 3 × q (F)
(E)を2乗すると
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 9p^2
これに(F)を代入すれば
9q^2 + 2ab = 9p^2
∴ 2ab = 9 (p^2 + q^2 )
2ab が9の倍数であるためには、ab が9の倍数でなければなりません。
9の倍数ということは、3の倍数ですから、上記の(2)より、aとbはともに3の倍数であることになります。
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