y=ax/(b+x)が直角双曲線であることを示したいです。

y=ax/(b+x)を変形して直角双曲線（xy=一定）であることを示したいです。やり方がわからず、ぜひ教えていただきたいです！よろしくお願いいたします。途中式なども示していただけると大変助かります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/18 17:50

あ、しもた。

a≠0 かつ b≠0 の場合は、x+b=0 ⊥ y-a=0 より直角双曲線であることが判ります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/18 16:52

直角双曲線は「xy=一定」とは限りません。

一般に双曲線は (x,yの一次式)(x,yの一次式)=(0でない定数) と書けます。
この式に現れる2個の (x,yの一次式) について、
(x,yの一次式)=0 がこの双曲線の漸近線です。
２本の漸近線が直交する双曲線を「直角双曲線」と呼びます。
例えば、(x+y)(x-y)=1 は直角双曲線ですが、xy=(定数) の形はしていません。

y=ax/(b+x) を変形して、(x,yの一次式)(x,yの一次式)=(定数) の形にしてみましょう。
y(b+x)=ax, xy-ax+by=0 を経て (x+b)(y-a)=-ab と変形できます。この式から、
a=0 かつ b=0 の場合は、x+b=0 ⊥ y-a=0 より直角双曲線であることが判ります。
ab=0 の場合には、直角双曲線ではありません。(2直線になります。)

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/18 16:24

a＝１/x、ｂ＝ｘとすれば

ｙ＝１/(２ｘ)
ｙｘ＝１/２
みたいな～かな

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2019/04/18 16:23

y=ax/(b+x)=｛ a(x+b)ーab ｝/(x+b)=aーab/(x+b)

∴ yーa=ーab/(x+b)
ここで、
yーa=Y ,x+b=Xとおけば、Y=ーab/X ∴ XY=ーab ……一定値！
なお、漸近線は、xy座標において、y=a ,x=ーb