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A 回答 (8件)
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No.8
- 回答日時:
ANO5は間違いだよ。
>1-(k^2-1)^2≧0 となるため、k^4-2k^2≧0 でした。ですのでk≧√2が判別式による解の存在条件でした
違ってるよ。その計算なら、k≦√2になる。どこが違うって?
判別式≦0が条件。考え方が、反対だよ。
No.7
- 回答日時:
よくよく考えれば誘導にのっても簡単でした
√x+√y≦k√(x+y)
→(√x+√y)^2≦{k√(x+y)}^2
→x+y+2√xy≦k^2(x+y)
→x+y+2√xy≦x+y+(x+y)(∵(2))≦k^2(x+y)
となるかと
No.6
- 回答日時:
追記
(2)は他の回答者の方は丁寧に解いていますが
c<1の時には
x=yの時にc(x+y)<x+y=2√xy
となるのでc<1の時c(x+y)≧2√(xy)を常には満たさない
みたいな感じでもいいかと思います
No.5
- 回答日時:
すみません、計算ミスがありました。
(3)の判別式のところから。
ここで√aについての判別式を考える。
1-(k^2-1)^2≧0 となるため、k^4-2k^2≧0 でした。
ですのでk≧√2 が判別式による解の存在条件でした。
ですのでk= √2 が解です。
No.4
- 回答日時:
相加相乗を使えばいいです
(1)c≧1の時
c(x+y)≧x+y≧2√(xy)なので
(2)(1)と同様に考えればOK
(3)類似問題が東大の過去問にありましたね
コーシー・シュワルツの不等式をうまく使ってください
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC% …
No.3
- 回答日時:
全部相加相乗平均で解ける方法もありますけど、発想力が関わってくるからそれ以外の定石も用います。
(1)相加相乗平均よりあきらか。面倒なんで略。
*ax=y となる正の数aを置く。
(2)
c(x+y)≧2√(xy) → c(x+ax)≧2√(ax^2) → c(1+a)≧2√a → c(1+a)≧2√a → ac-2√a+c≧0
ac-2√a+c≧0 を √aについての判別式で考える。
すると判別式より 1-c^2≧0 であるため、c≧1 (cは正)
よって、(1)が常に成り立てば、c≧1であることが示された。
(3)
*ax=y となる正の数aを置く。
√x+√y≦k√(x+y) → 1+√a≦k√1+a → a(k^2-1)-2√a -1+k^2
放物線は(k^2-1)が正の時上に凸であるため、1 ≦ k が題意の必要条件である。
ここで√aについての判別式を考える。
すると、1+(k^2-1)^2≧0 となるため、kはすべての実数で解の存在条件を満たすことがわかる。
つまり1 ≦ kを満たすすべての実数がkの条件であるため、
kの最小値は1である。
こんな感じですかね?
No.2
- 回答日時:
書き込みミス。
(誤)従って、2ab/(a^2+b^2)≧1であるから、c≧(2ab)/(a^2+b^2)≧1.
(正)従って、2ab/(a^2+b^2)≦1であるから、c≧1≧(2ab)/(a^2+b^2).
ついでに、(3)の答えは、k=√2 だと思うよ。
No.1
- 回答日時:
√x=a、√y=bとすると、 a≧0、b≧0.
c(x+y)≧2√(xy) → c(a^2+b^2)≧2ab。 a=0、b=0の場合は別に考えるとして、a^2+b^2≠0 の場合は、c≧(2ab)/(a^2+b^2)。‥‥(1)
a≧0、b≧0より、相加平均・相乗平均から、a^2+b^2≧2ab ‥‥(2) 等号はa=bの時。
従って、2ab/(a^2+b^2)≧1であるから、c≧(2ab)/(a^2+b^2)≧1.
(3)も同じようにすれば解ける。
但し、両辺が正から2乗しても同値だから、(k)^2≧(a+b)^2/(a+b)。→ (k)^2≧1+{(2ab)/(a^2+b^2)}となる。
続きは、自分でやって。但し、計算はチェックしてね。
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