単項イデアル整域ならば、既約元は素元であることはどのように示したら良いでしょうか？

単項イデアル整域ならば、既約元は素元であることはどのように示したら良いでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/20 21:29

これ、たいていの教科書に載ってない？

x が単項イデアル整域 A の既約元であるとする。 すなわち、
x = ab, a,b ∈ A ならば a^-1 または b^-1 が存在すると仮定する。

x が生成するイデアル (x) は、極大イデアルである。
A の任意の元 y をとってイデアル (x,y) を考えると、
単項イデアル整域なので、(x,y) = (z) となる A の元 z が存在する。
x ∈ (z) より x = zw となる A の元 w が存在するが、
x が既約なので、z^-1 または w^-1 が存在することになる。
z^-1 が存在する場合、1 = z・z^-1 ∈ (z) より、(z) = A である。
w^-1 が存在する場合、z = x・w^-1 ∈ (x) より、(z) = (x) である。
(x) を含むイデアル (z) は、(x) 自身または A であることが示された。

(x) が極大イデアルなので、剰余環 A/(x) は体である。

剰余環 A/(x) が整域なので、(x) は素イデアルである。 すなわち、
A の元 a,b について ab ∈ (x) ならば a ∈ (x) または b ∈ (x) である。

これは x | ab なら x | a または x | b ということだから、
x が A の素元であることを表している。