No.1ベストアンサー
- 回答日時:
そうです。
ab = ba が成り立たないことを非可換といいます。
なので、 (ab)^n = ababab...ab が (a^n)(b^n) と一致しなくなります。
可換環なら常に (ab)^n = ababab...ab = (a^n)(b^n) です。
No.2
- 回答日時:
1.
(ab)^n=a^nb^nは一般に成り立たず、可換環なら常に成り立つ。
2.
a=((1,0),(0,0)) , b=((1,1),(1,1))
とする。
ab=((1,1),(0,0)) , (ab)²=((1,1),(0,0))
a²=((1,0),(0,0))=a , b²=2((1,1),(1,1))=2b
a²b²=2ab≠(ab)²
なので、一般に成り立たない。
3.
可換なら
n=1 の時は自明
(ab)ⁿ⁻¹=aⁿ⁻¹bⁿ⁻¹
の成立を仮定
(ab)ⁿ=(ab)ⁿ⁻¹(ab)=(aⁿ⁻¹bⁿ⁻¹)(ab)=aⁿ⁻¹(bⁿ⁻¹a)b
=aⁿ⁻¹(abⁿ⁻¹)b=(aⁿ⁻¹a)(bⁿ⁻¹b)=aⁿbⁿ
なので、常に成立。
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