No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ax²≦y≦bx²
ay²≦x≦by²
y=ax²……①
y=bx²……②
x=ay²……③
x=by²……⓸
まずは、この4つの曲線のグラフをかいて面積を求める図形を確認します。
次に、①と③、④の交点のx座標をそれぞれ求めます。
①を③に代入
x=a(ax²)²
x=a³x⁴
a³x⁴-x=0
x(a³x³-1)=0
x=0 , 1/a
①を⓸に代入
x=b(ax²)²
x=a²bx⁴
a²bx⁴-x=0
x(a²bx³-1)=0
x=0 , 1/₃√(a²b)
同様にして、②と③、④の交点のx座標をそれぞれ求めます。
②と③より、
x=0 , 1/₃√(ab²)
②と⓸より、
x=0 , 1/b
0<a<b より、
1/b <1/₃√(ab²) < 1/₃√(a²b) < 1/a
③より、
y=√(x/a)
⓸より、
y=√(x/b)
これより、求める面積をSとすると、
S=∫[x:1/b→1/₃√(ab²)] {bx²-√(x/b)}dx + ∫[x:1/₃√(ab²)→1/₃√(a²b))] {√(x/a)-√(x/b)}dx + ∫[x:1/₃√(a²b)→1/a] {√(x/a)-ax²}dx
∫[x:1/b→1/₃√(ab²)] {bx²-√(x/b)}dx
=[(b/3)x³-{2/(3√b)}x^(3/2)] [x:1/b→1/₃√(ab²)]
=1/(3ab)-2/{3b√(ab)}-1/(3b²)+2/(3b²)
=1/(3ab)-2/{3b√(ab)}+1/(3b²)
∫[x:1/₃√(ab²)→1/₃√(a²b))] {√(x/a)-√(x/b)}dx
=[{2/(3√a)}x^(3/2)-{2/(3√b)}x^(3/2)] [x:1/₃√(ab²)→1/₃√(a²b))]
=2/{3a√(ab)}-2/(3ab)-2/(3ab)+2/{3b√(ab)}
=2/{3a√(ab)}-4/(3ab)+2/{3b√(ab)}
∫[x:1/₃√(a²b)→1/a] {√(x/a)-ax²}dx
=[{2/(3√a)}x^(3/2)-(a/3)x³] [x:1/₃√(a²b)→1/a]
=2/(3a²)-1/(3a²)-2/{3a√(ab)}+1/(3ab)
=1/(3a²)-2/{3a√(ab)}+1/(3ab)
よって、
S=1/(3ab)-2/{3b√(ab)}+1/(3b²) + 2/{3a√(ab)}-4/(3ab)+2/{3b√(ab)} +1/(3a²)-2/{3a√(ab)}+1/(3ab)
=1/(3a²) + 1/(3b²)-2/(3ab)
=(1/3)(1/a -1/b)²
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