ax^2≦y≦bx^2、ay^2≦x≦by^2の曲線によって表される図形の面積の求め方を教えてくださ

ax^2≦y≦bx^2、ay^2≦x≦by^2の曲線によって表される図形の面積の求め方を教えてください。0<a<bですす。

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/10/30 20:28

ax²≦y≦bx²

ay²≦x≦by²

y=ax²……①
y=bx²……②
x=ay²……③
x=by²……⓸

まずは、この４つの曲線のグラフをかいて面積を求める図形を確認します。
次に、①と③、④の交点のｘ座標をそれぞれ求めます。
①を③に代入
x=a(ax²)²
x=a³x⁴
a³x⁴－x=0
x(a³x³－1)=0
x=0 , 1/a

①を⓸に代入
x=b(ax²)²
x=a²bx⁴
a²bx⁴－x=0
x(a²bx³－1)=0
x=0 , 1/₃√(a²b)

同様にして、②と③、④の交点のｘ座標をそれぞれ求めます。
②と③より、
x=0 , 1/₃√(ab²)
②と⓸より、
x=0 , 1/b

0<a<b より、
1/b <1/₃√(ab²) < 1/₃√(a²b) < 1/a

③より、
y=√(x/a)
⓸より、
y=√(x/b)

これより、求める面積をSとすると、
S＝∫[x:1/b→1/₃√(ab²)] {bx²－√(x/b)}dx + ∫[x:1/₃√(ab²)→1/₃√(a²b))] {√(x/a)－√(x/b)}dx + ∫[x:1/₃√(a²b)→1/a] {√(x/a)－ax²}dx

∫[x:1/b→1/₃√(ab²)] {bx²－√(x/b)}dx
=[(b/3)x³－{2/(3√b)}x^(3/2)] [x:1/b→1/₃√(ab²)]
=1/(3ab)－2/{3b√(ab)}－1/(3b²)+2/(3b²)
=1/(3ab)－2/{3b√(ab)}+1/(3b²)

∫[x:1/₃√(ab²)→1/₃√(a²b))] {√(x/a)－√(x/b)}dx
=[{2/(3√a)}x^(3/2)－{2/(3√b)}x^(3/2)] [x:1/₃√(ab²)→1/₃√(a²b))]
=2/{3a√(ab)}－2/(3ab)－2/(3ab)+2/{3b√(ab)}
=2/{3a√(ab)}－4/(3ab)+2/{3b√(ab)}

∫[x:1/₃√(a²b)→1/a] {√(x/a)－ax²}dx
=[{2/(3√a)}x^(3/2)－(a/3)x³] [x:1/₃√(a²b)→1/a]
=2/(3a²)－1/(3a²)－2/{3a√(ab)}+1/(3ab)
=1/(3a²)－2/{3a√(ab)}+1/(3ab)

よって、
S=1/(3ab)－2/{3b√(ab)}+1/(3b²) + 2/{3a√(ab)}－4/(3ab)+2/{3b√(ab)} +1/(3a²)－2/{3a√(ab)}+1/(3ab)
=1/(3a²) + 1/(3b²)－2/(3ab)
=(1/3)(1/a －1/b)²

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/11/03 19:12

No.1 回答者： iruiru298 回答日時： 2020/10/29 17:01

＞ax^2≦y≦bx^2、ay^2≦x≦by^2の曲線

この不等式では、曲線にならない気がしますが・・・

この回答へのお礼

＞ax^2≦y≦bx^2、ay^2≦x≦by^2のの不等式が表す図形の面積を教えください。

お礼日時：2020/10/29 17:27