パスカルの三角形と（a+b）^nの関係

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
・・・・・・・・

というのがパスカルの三角形ですが、何故このパスカルの三角形が(a+b)^nの係数に関係があるのでしょうか？教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/11/29 23:22

mao0529さん、こんにちは。

パスカルの三角形が何故(a+b)^nの係数に関係するのか、ということですね。
難しいご質問ですね。


(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a*a+a*b+a*b+b*bですから
(a+b)=a^2+ab
　　　　　+ab+b^2
　　　-----------
　　　a^2+2ab+b^2

なので、係数が１，２，１になっています。


(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)
　　　=(a^2+2ab+b^2)(a+b)
　　　=a^3+2a^b +ab^2
　　　　　a^2b　+2ab^2 +b^3
　　　---------------------
　　　a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

なので係数が１，３，３，１になっています。

(a+b)^4=(a+b)^3(a+b)なので
　　　=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)
　　　=a^4+3a^3b+3a^2b^2+ab^3
　　　　　　a^3b+3a^2b^2+3ab^3+b^4
　　　----------------------------
　　　a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

なので、係数が１，４，６，４，１になっています。

つまり、展開するときに行をずらして同じ次数の項を上のようにそろえてかけば
(a+b)^2では、abの項が２回現れるので、a^2とb^2の係数が１なのに、
abの係数は２である、と分かります。
あとも順次同じようにして、重なって出てくる項がありますので
パスカルの三角形で表される係数になるんですね。
ご参考になればうれしいです。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pascal/pa …

参考URL：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pascal/pa …

この回答へのお礼

ありがとうございました。ＵＲＬを参考にしてまたかんがえてみます。

お礼日時：2003/11/30 08:07

No.5 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/11/30 00:34

補足の質問を見て

( )＾nの展開をするのは( )をn個並べておいて
そこからaを何個、bを何個と取りだして掛ければ良い。

例えば(a+b)^5を展開してa^3b^2を作ろうと思ったら
５個の( )からa を３個、bを２個取りだして掛ければ良い。
どの括弧からaを取りだすかの選び方ということで
組合せになります。

この説明は直截パスカルの三角形とは関係がありません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。とりあえず、整理ができました。

お礼日時：2003/11/30 08:05

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/11/30 00:19

まずパスカルの三角形を見て、どうして三角形というのだろう。

台形じゃないか?
と思ったことはないですか。本当は

1
11
121
1331

といった具合に一番上に1を書いた方が良いように思います。
これは0乗に対応するのですが、話が横へそれるので
本題に入ります。他の人と同じではつまらないので
何とか違う説明を。

左へ行くとa、右へ行くとbの指数が増えます。
a,b
から
a^2 ,ab ,b^2 へ行くためには
a^2へはaからしか行けませんがabへはaからとbからの
両方から行けるので足し算になります。

とこんな説明では分かりませんね。

では別のアプローチを(と言っても本質的に同じなんだけど)。

格子状の道を最短経路で行くのは何通りあるか?
という問題をやったことはありますか。

あの問題がなぜ組み合わせで計算できるのか。
実はあれと同じなんですが、図を書かないで説明するのは難しい。ということで続きは先生に聞いてください。

No.3 回答者： kony0 回答日時： 2003/11/29 23:45

２項定理：(a+b)^n=Σ(r=0～n)nCr*a^r*b^(n-r)

組み合わせの公式：nCr=(n-1)C(r-1)+(n-1)Cr
からなります。

後者の公式については、
「ｎ個のものからｒ個とる」
＝「特定の１個をとった場合」→残りｎ－１個からｒ－１個取る」
＋「特定の１個を取らなかった場合」→残りｎ－１個からｒ個取る」
というので説明できます。

本質的には、#2さんの説明とまったく同じ内容です。

(a+b)^nのa^r*b^(n-r)の係数は、
(a+b)^(n-1)*(a+b)を考えて、
(a+b)^(n-1)のa^(r-1)*b^(n-r)の係数と
(a+b)^(n-1)のa^r*b^(n-r-1)の係数を足したもの
と説明できます。

パスカルの三角形は、nCr=(n-1)C(r-1)+(n-1)Crを図示したものに他なりません。

この回答への補足

a^5*b^4の係数は9Ｃ4と表されますが、9Ｃ4と表される具体的な理由をお願いします。
これは、同じような質問ですかね？！
でしたら申し訳ありません。

補足日時：2003/11/29 23:59

No.1 回答者： fiva205c 回答日時： 2003/11/29 23:21

(a+b)^1=1a+1b

(a+b)^2=1a^2+2ab+1b^2
(a+b)^3=1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3
(a+b)^4=1a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+1b^4
(a+b)^5=1a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+1b^5
・・・・・

ということで、ご理解いただけるでしょうか