解と係数の関係

２次方程式３Ｘの２乗＋３Ｘ－１＝０の解をα、βとするとき、次の式の値を求めよ。
（１）１/α＋１/β
（２）β/α＋α/β
（３）１/α＋１＋１/β＋１
という問題です。
α＋β＝－１、αβ＝－１/３までは、できるんですけど・・・。
式とやり方を教えてください！！

No.4 回答者： springside 回答日時： 2005/12/26 17:09

面倒なので、αをa、βをbと書きます。

とにかく、式を変形して、a+b、abを作り出すことです。
ちなみに、(1)～(3)は、全て、aとbを入れ替えても同じ式になりますよね。こういう式を「対称式」と言い、全てのa,b2文字の対称式は、a+b、abの２つ（この２つを基本対称式と言います）を用いて書き表すことができます。
（以下、「aの2乗」をa^2と書きます。）

(1)
1/a + 1/b
=b/ab + a/ab　←通分です。
=(a+b)/ab

(2)
b/a + a/b
=b^2/ab + a^2/ab　←通分です。
=(a^2+b^2)/ab
={(a+b)^2-2ab}/ab　←a^2+b^2=(a+b)^2-2abなので。

(3)
1/(a+1) + 1/(b+1)
=(b+1)/(a+1)(b+1) + (a+1)/(a+1)(b+1)　←通分です。
=(a+b+2)/(a+1)(b+1)
=(a+b+2)/(a+b+ab+1)

No.3 回答者： D-JAGA 回答日時： 2005/12/26 17:07

全部通分してみてください。

(2)は分子を何とかα+βとαβを使った形に持っていってみてください。(ヒントは(x+y)^2)
これで解けるはずです。
あと(３)は、１/(α＋１)＋１/(β＋１)
ですよね。

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2005/12/26 17:04

それらの式をα＋βとαβと定数だけの項に変形できればよいですよね。

通分してみてください。

No.1 回答者： MicroK2O 回答日時： 2005/12/26 17:04

通分すると・・・