最小ハミング距離とは？

2つの符号語U、Vについてのハミング距離d_H(U,V)として表す時、線形符号Ｃに対して
最小ハミング距離は
　　min d_H(U,V)
U≠V(U,V∈C）

と表せるそうなのですが、この式の意味がいまいちわかりません。
ハミング距離は
Ｕ＝（0 1 1 0 1 0 1 1 )
Ｖ＝（1 0 1 1 0 0 0 1 )
だとしたら、
5になります。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2004/01/27 21:27

min X とは、集合Xの要素のうちで最小のもの、を表す記号です。

たとえば、
min{4,5,6} = 4

　で、minを使って、ご質問にある命題をきちんと表記すると、
「最小ハミング距離は
min{x|∃U∃V(U∈C ∧ V∈C ∧ U≠V ∧ x=d_H(U,V))}
である。」
となります。言い換えると「最小ハミング距離とは、『U,Vが符号語であって、U≠Vであるときに生じ得る最小のd_H(U,V)』である」ってことに他なりません。
　なお、U≠Vの条件が出てくるのは、この制限を付けないと
min{x|∃U∃V(U∈C ∧ V∈C ∧ x=d_H(U,V))}=0
が自明に成り立つからです。（それはもちろんd_H(U,U)=0だから。）
　てことは、もっと普通に言うなら、
「符号Cの最小ハミング距離とは、Cに含まれる２つの符号語の間の、0でない最小のハミング距離の事である。」

　さて、
min{x|∃U∃V(U∈C ∧ V∈C ∧ U≠V ∧ x=d_H(U,V))}
の最初のxのところにx=d_H(U,V)を代入して略記する流儀があるので、これを
min{d_H(U,V))|∃U∃V(U∈C ∧ V∈C ∧ U≠V)}
と書くのはちっともおかしくない。また、{}の中にある論理式の∃記号を省略するのもよくやることなんで、
min{d_H(U,V))|U∈C ∧ V∈C ∧ U≠V}
またU∈C ∧ V∈Cを略してU,V∈Cとも書きますね。
min{d_H(U,V))|U,V∈C,U≠V}
符号Ｃの話をしてるんですから、文脈からUV∈Cは言わずもがなの当たり前であり、
min{d_H(U,V))|U≠V} (U,V∈C)

　かくて、
min d_H(U,V))U≠V(U,V∈C)
と書いたら
min{x|∃U∃V(U∈C ∧ V∈C ∧ U≠V ∧ x=d_H(U,V))}
という意味だぐらい分かってよ、って事になるわけです。

　つーことで、これは符号理論とも最小ハミング距離ともほとんど関係がないご質問ですね。なおstomachmanはむやみな略記は嫌いです。略記のせいで間違えるってことが、本当に多いもんですから。

No.1 回答者： wolv 回答日時： 2004/01/27 21:23

「Cという集合を考えたとき、

Cに含まれる、　U=Vを除いたすべての「元U,Vの組」について、ハミング距離を計算する。
この最小値が
そのCに対しての最小ハミング距離になる」

と読めます。