直角三角形に関する問題がわかりません

Question

「直角三角形において，直角をはさむ２辺の長さの和が一定なら，どんな形の三角形の斜辺が最も短くなるか？」
という問題でつまづきました．
（考え）直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとすると
斜辺＾2=a＾2+(b-a)＾2
       =2a＾2-2ab+b＾2
長さが負にはならないので
斜辺=√2a＾2-2ab+b＾2(√以下はすべて√のなか）
よって2a＾2-2ab+b＾2が最小になるときを考えればよい．
2a＾2-2ab+b＾2=Pとおく
P=2(a-b/2)＾2+b＾2/2
よってa=b/2のとき，Pは最小値をとる，
よってこの直角三角形の，直角をはさむ２辺の長さは等しいので，
直角二等辺三角形

この解き方だと解けます．
しかし，次の解き方ではできないので，何故できないのかを教えてください．
（解）直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとすると
斜辺＾2=a＾2+(b-a)＾2
長さが負にはならないので
斜辺=√a＾2+(b-a)＾2(√以下はすべて√のなか）
よってa＾2+(b-a)＾2が最小になるときを考えればよい．
Q=a＾2+(b-a)＾2とする．
Q=(b-a)＾2+a＾2
よってb=aのとき，Qは最小値をとる．
これだとおかしい

banakona · Accepted Answer

＃３です。

＞しかし，それだと
＞P=2(a-b/2)＾2+b＾2/2
＞も成り立たなくなるのではないのですか？

ｂは定数なのでｘが変化してもb＾2/2は変化しません。この場合は「ａ＝ｂ／２で最小」でいいのです。一方、

＞Q=(A-x)^2+x^2

は、ｘが変化すると(A-x)^2もx^2も変化するので「Ａ＝ｘで最小」とは言えないのです。

Trick--o-- · Answer

「直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとする」
という条件でb=aだと
2辺のうち片方の長さが０になり、三角形になりません。

banakona · Answer

＞は，やはりこの式が出てきたら最小はA=xだと思います．
＞間違っているのですか？

次の式
Q=(A-x)^2+x^2

でｘが変化すると、+x^2の部分も変化するので、「A=xのときに最小になる」とは限りません。
A-x＝０かつｘ＝０のとき最小値０という考え方もありそうですが、これでは１辺の長さが、２辺の和Aに等しくかつ０ということになり、ありえません。

mister_moonlight · Answer

何が変数で、何が定数かの判断が出来ていない。
他にも、簡単な方法があるが、これが一番（？）簡単だろう。

直角を挟む2辺をx、y（共に、変数）としその和をkとする。つまり、x＋y＝k　（kは正の定数）とする。→　y＝k-x＞0より、0＜x＜k　‥‥(1)
斜辺＾2＝x＾2＋y＾2＝x＾2＋（k-x）＾2＝2（x-k/2）＾2＋（k）＾2/2　‥‥(2)
従って、(1)の範囲で(2)の最小値を考えるだけ。

時として、使う文字の数を惜しむと理解が難しくなる場合がある。

proto · Answer

文字に惑わされていますね。

＞直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとすると
2辺の和が一定、すなわちこの場合のbは定数なので、分かりやすく大文字でAと置いてください。
そのうちの1辺が変化すれば、それに合わせてもう1辺も変化する。
すなわちこの場合の1辺の長さは変数なので、分かりやすく小文字でxと置いてください。

このようにすると、

(解)直角をはさむ２辺の和をA,そのうちの１辺をxとすると
(中略)
Q=(A-x)^2+x^2

さぁ、このQを最小にするようなxを求めよう。
本当に最小はA=xのとき？
もう一度、落ち着いて、ゆっくり考えてみてください。

直角三角形に関する問題がわかりません

＃３です。

「直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとする」

＞は，やはりこの式が出てきたら最小はA=xだと思います．

何が変数で、何が定数かの判断が出来ていない。

文字に惑わされていますね。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング