【放物線の問題】

放物線ｙ=x^2上の原点と異なる点Aにおける法線とこの放物線の交点をBとする。
ただし、点Aにおける法線とは、点Aを通りAにおける接線と直交する直線である。

(1)線分ABの中点をP(X,Y)とするとき、YをXで表せ。

(2)Aを動かす時、(1)で求めたYの最小値は？

解ける方いらっしゃいましたら、
お願いしますm(_)m

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/29 23:44

#1です。

#2さん、指摘有難う。指摘通りミスでした。

A#1にミスが有りましたので訂正します。

>(b-a)(b+a)=-(b-a)/(2a)
>A、Bは異なる点とすればa≠bなので
>(b-a)で割って
>　a+b=1/(2a) ...(A)

以降（A）式の符号ミスで以降に影響がでますので、以下で差し替えをお願いします。

　　a+b=-1/(2a) ...(A)
　　b=-1/(2a)-a
　　ab=-1/2-a^2 ...(B)
(1)
A,Bの中点がP(X,Y)なので(A),(B)より
　X=(a+b)/2=-1/(4a)　...(C)
　Y=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2
　 =(1/(4a^2)+(1+2a^2))/2=1/(8a^2)+(1/2)+a^2 ...(D)
(C)より
　a=-1/(4X)
(D)に代入してaを消去
　Y=2X^2 +(1/2) +(1/16)/X^2 ←　1)の答え

(2)
相加平均・相乗平均の関係より
　Y=2X^2 +(1/16)/X^2 +(1/2)
　≧2√(2/16) +1/2=(√2+1)/2　（Yの最小値）
最小値をとる時は
　2X^2=(1/16)/X^2
　X^4=1/32
　X=±1/2^(5/4) …(※)
(C)より
　a=-1/(4X)=-(±2^(5/4-2))=-(±2^(-3/4)) …(※)
　a=-(±1)/2^(3/4) …(※)
ここで（※）は複号同順です。

失礼しました。

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/06/29 20:11

(1)線分ABの中点をP(X,Y)とするとき、YをXで表せ。

A=A(p,p^2)とする。
Aを通る法線をy=ax+bとすると、y'=2xよりa=-1/(2p)、
p^2=-1/(2p)*p+bよりb=p^2+1/2。よって法線はy=-1/(2p)x+p^2+1/2
Bのx座標は、x^2=-1/(2p)x+p^2+1/2よりx^2+1/(2p)x-p^2-1/2
=(x-p){x+p+1/(2p)}=0、x=-p-1/(2p)
線分ABの中点P(X,Y)よりX=(1/2)[p+{-p-1/(2p)}]=-1/(4p)
法線の式に代入してY=-1/(2p){-1/(4p)}+p^2+1/2
=1/(8p^2)+p^2+1/2、p=-1/(4X)を代入して
Y=1/[8{1/(16X^2}]+1/(16X^2)+1/2=2X^2+1/(16X^2)+1/2・・・答

(2)Aを動かす時、(1)で求めたYの最小値は？
Aが(0,0)ではBは存在しないので、p≠0
Y=1/(8p^2)+p^2+1/2より
dY/dp=-1/(4p^3)+2p=0とおくと8p^4=1、p^2=√(1/8)
d(dY/dp)/dp=3/(4P^4)+2＞0よりY(p)は下に凸でありp^2=1/√8
で最小となるので、Y=1/(8p^2)+p^2+1/2に代入して、
Y=(1/8)(√8)+1/√8+1/2=(1+√2)/2・・・答え

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/06/29 17:12

点A(α、α＾2)　α≠0　とする。

点Aにおける接線の傾きは　2α。従って　その法線の傾きは　-1/(2α)だから　法線の方程式は　y＝(-1/2α)*(x-α)＋α＾2.これがｙ=x^2と交わるから　x≠αから　x＝-(2α＾2＋1)/(2α)。
その時の　y座標はy=x^2＝(2α＾2＋1)＾2/(2α)＾2。
よって、2Y＝α＾2＋(2α＾2＋1)＾2/(2α)＾2＝(8α＾4＋4α＾2＋1)/(4α＾2)　→　8Y＝2α＾2＋1＋1/α＾2.
α＾2＞0から　相加平均・相乗平均より　8Y＝2α＾2＋1＋1/α＾2≧2√2＋1.
つまり、最小値は　(2√2＋1)/8
等号は、2α＾2＝1/α＾2の時　つまり　α＝±1/(4)√2　の時。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/06/29 16:26

#1さんへ

a+b=1/(2a) ...(A)
は
a+b=-1/(2a) ...(A)
ではありませんか？

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/29 14:45

A(a,a^2),B(b,b^2)とすると

y'=2xより
法線の方程式は
y=-(x-a)/(2a) +a^2
y=-x/(2a)+a^2+(1/2)
B(b,b^2)を通るから
b^2=-(b-a)/(2a) +a^2
変形すると
(b-a)(b+a)=-(b-a)/(2a)
A、Bは異なる点とすればa≠bなので
(b-a)で割って
　a+b=1/(2a) ...(A)
　b=1/(2a)-a
　ab=1/2-a^2 ...(B)

(1)
A,Bの中点がP(X,Y)なので(A),(B)より
　X=(a+b)/2=1/(4a)　...(C)
　Y=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2
=(1/(4a^2)-(1-2a^2))/2=1/(8a^2)-(1/2)+a^2 ...(D)
(C)より
　a=1/(4X)
(D)に代入してaを消去
　Y=2X^2 -(1/2) +(1/16)/X^2 ←　1)の答え

(2)
相加平均・相乗平均の関係より
　Y=2X^2 +(1/16)/X^2 -(1/2)
≧2√(2/16) -1/2=(√2-1)/2　（Yの最小値）
最小値をとる時は
　2X^2=(1/16)/X^2
　X^4=1/32
　X=±1/2^(5/4)
(C)より
　a=1/(4X)=-(±2^(5/4-2))=-(±2^(-3/4))=-(±1)/2^(3/4)