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放物線y=x^2上の原点と異なる点Aにおける法線とこの放物線の交点をBとする。
ただし、点Aにおける法線とは、点Aを通りAにおける接線と直交する直線である。

(1)線分ABの中点をP(X,Y)とするとき、YをXで表せ。

(2)Aを動かす時、(1)で求めたYの最小値は?

解ける方いらっしゃいましたら、
お願いしますm(_)m

A 回答 (5件)

#1です。



#2さん、指摘有難う。指摘通りミスでした。

A#1にミスが有りましたので訂正します。

>(b-a)(b+a)=-(b-a)/(2a)
>A、Bは異なる点とすればa≠bなので
>(b-a)で割って
> a+b=1/(2a) ...(A)

以降(A)式の符号ミスで以降に影響がでますので、以下で差し替えをお願いします。

  a+b=-1/(2a) ...(A)
  b=-1/(2a)-a
  ab=-1/2-a^2 ...(B)
(1)
A,Bの中点がP(X,Y)なので(A),(B)より
 X=(a+b)/2=-1/(4a) ...(C)
 Y=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2
  =(1/(4a^2)+(1+2a^2))/2=1/(8a^2)+(1/2)+a^2 ...(D)
(C)より
 a=-1/(4X)
(D)に代入してaを消去
 Y=2X^2 +(1/2) +(1/16)/X^2 ← 1)の答え

(2)
相加平均・相乗平均の関係より
 Y=2X^2 +(1/16)/X^2 +(1/2)
 ≧2√(2/16) +1/2=(√2+1)/2 (Yの最小値)
最小値をとる時は
 2X^2=(1/16)/X^2
 X^4=1/32
 X=±1/2^(5/4) …(※)
(C)より
 a=-1/(4X)=-(±2^(5/4-2))=-(±2^(-3/4)) …(※)
 a=-(±1)/2^(3/4) …(※)
ここで(※)は複号同順です。

失礼しました。
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(1)線分ABの中点をP(X,Y)とするとき、YをXで表せ。


A=A(p,p^2)とする。
Aを通る法線をy=ax+bとすると、y'=2xよりa=-1/(2p)、
p^2=-1/(2p)*p+bよりb=p^2+1/2。よって法線はy=-1/(2p)x+p^2+1/2
Bのx座標は、x^2=-1/(2p)x+p^2+1/2よりx^2+1/(2p)x-p^2-1/2
=(x-p){x+p+1/(2p)}=0、x=-p-1/(2p)
線分ABの中点P(X,Y)よりX=(1/2)[p+{-p-1/(2p)}]=-1/(4p)
法線の式に代入してY=-1/(2p){-1/(4p)}+p^2+1/2
=1/(8p^2)+p^2+1/2、p=-1/(4X)を代入して
Y=1/[8{1/(16X^2}]+1/(16X^2)+1/2=2X^2+1/(16X^2)+1/2・・・答

(2)Aを動かす時、(1)で求めたYの最小値は?
Aが(0,0)ではBは存在しないので、p≠0
Y=1/(8p^2)+p^2+1/2より
dY/dp=-1/(4p^3)+2p=0とおくと8p^4=1、p^2=√(1/8)
d(dY/dp)/dp=3/(4P^4)+2>0よりY(p)は下に凸でありp^2=1/√8
で最小となるので、Y=1/(8p^2)+p^2+1/2に代入して、
Y=(1/8)(√8)+1/√8+1/2=(1+√2)/2・・・答え
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点A(α、α^2) α≠0 とする。


点Aにおける接線の傾きは 2α。従って その法線の傾きは -1/(2α)だから 法線の方程式は y=(-1/2α)*(x-α)+α^2.これがy=x^2と交わるから x≠αから x=-(2α^2+1)/(2α)。
その時の y座標はy=x^2=(2α^2+1)^2/(2α)^2。
よって、2Y=α^2+(2α^2+1)^2/(2α)^2=(8α^4+4α^2+1)/(4α^2) → 8Y=2α^2+1+1/α^2.
α^2>0から 相加平均・相乗平均より 8Y=2α^2+1+1/α^2≧2√2+1.
つまり、最小値は (2√2+1)/8
等号は、2α^2=1/α^2の時 つまり α=±1/(4)√2 の時。
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#1さんへ


a+b=1/(2a) ...(A)

a+b=-1/(2a) ...(A)
ではありませんか?
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A(a,a^2),B(b,b^2)とすると


y'=2xより
法線の方程式は
y=-(x-a)/(2a) +a^2
y=-x/(2a)+a^2+(1/2)
B(b,b^2)を通るから
b^2=-(b-a)/(2a) +a^2
変形すると
(b-a)(b+a)=-(b-a)/(2a)
A、Bは異なる点とすればa≠bなので
(b-a)で割って
 a+b=1/(2a) ...(A)
 b=1/(2a)-a
 ab=1/2-a^2 ...(B)

(1)
A,Bの中点がP(X,Y)なので(A),(B)より
 X=(a+b)/2=1/(4a) ...(C)
 Y=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2
=(1/(4a^2)-(1-2a^2))/2=1/(8a^2)-(1/2)+a^2 ...(D)
(C)より
 a=1/(4X)
(D)に代入してaを消去
 Y=2X^2 -(1/2) +(1/16)/X^2 ← 1)の答え

(2)
相加平均・相乗平均の関係より
 Y=2X^2 +(1/16)/X^2 -(1/2)
≧2√(2/16) -1/2=(√2-1)/2 (Yの最小値)
最小値をとる時は
 2X^2=(1/16)/X^2
 X^4=1/32
 X=±1/2^(5/4)
(C)より
 a=1/(4X)=-(±2^(5/4-2))=-(±2^(-3/4))=-(±1)/2^(3/4)
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