数Ａ集合

Ｕ＝５０個　Ａ＝３７個　Ｂ＝３８個　Ｃ＝４０個　Ａ∩Ｂ∩Ｃの最小値はいくつか？
教えてください。

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/05 01:04

情報が足りていませんが、

U=A∪B∪C でよいのでしょうか？

n(U)=50
n(A)=37
n(B)=38
n(C)=40

A∩B∩C=(A∩B)∩C=A∩(B∩C)=B∩(A∩C)
であるから、順番に左右されず3つのうちの2つの
共通要素が最小になる場合を考えていけばよい。

なので、まずはAとBの共通要素が最小になることを考える。

Uの要素を U={1～50} としておく。
Aの要素を A={1～37} と決めると、
共通要素が最小になるようなBの要素は B={13～50} となる。
このとき、A∩Bの要素は、A∩B={13～37} であり
n(A∩B)=25

次に、A∩Bの要素とCの共通要素が最小になることを考える。

そのためにはCの要素にA∩Bの補集合を含ませればよい。
残りは、A∩Bの部分集合で数を補うものとする。
よって、Cの要素は n(C)=40より、
C={1～12、38～50、21~35} とでも決めてみると、
(A∩B)∩C=A∩B∩C={21~35} となる。
よって、このときのA∩B∩Cの要素の個数は
n(A∩B∩C)=15
であり、これが最小値になる。


実は計算式で書くとあっけない。
37+38-50=25
40+25-50=15

n(A∩B∩C)の最小値 = n(A)+n(B)+n(C)-n(U)-n(U)



U=A∪B∪C という条件であればこれで合っているはずです。