数学です 十分条件と必要条件の区別がよくわかんないです。 教えてください！

数学です
十分条件と必要条件の区別がよくわかんないです。
教えてください！

No.8 ベストアンサー 回答者： fxq11011 回答日時： 2020/04/14 19:27

十分条件→、それさえ満たせば十分。

必要条件→それが欠けているとダメ、（必要、言い換えれば必須が揃わないと）
人は動物である→条件「人」、人でさえあれば、動物であることは当たり前、人は動物であることの十分条件。
動物は人である→人であるためには、動物である（必須、必要条件）、動物という条件が欠けていれば、人であるはずがない。

No.7 回答者： springside 回答日時： 2020/04/14 16:09

あまり深く考えなくていいです。

A　→　B　（AならばB）

のとき、

Aが十分条件（矢印の左端の横棒から類推して、「十」という字を思い出す）
Bが必要条件（矢印の右端のとんがった部分が「必」という字に似てるでしょ）

と機械的に覚えておけば大丈夫。

問題文を読んだときに、何がAで、何がBで、矢印がどちらに向くのか、ということを紙に書けばそれで認識できます。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/14 13:37

普通に、日本語の語義どおりですよ。

「P ならば Q」が真であるとき、
P が真ならば、Q も真である。
P が真であれば、Q が真であると言うのに十分である。
P は、Q であるための十分条件である。

「P ならば Q」は「not Q ならば not P」と同値なので、
Q が真でなければ、P も真でない。
少なくとも Q が真でなければ、P は真にはならない。
P が真であるためには、Q が真であることが必要である。
Q は、P であるための必要条件である。

No.5 回答者： kurikuri_maroon 回答日時： 2020/04/14 13:25

例題で考えていったほうが良いかもしれませんね。

たとえば、ｘが９の倍数だと、必ず、ｘは３の倍数です。

９の倍数は、９、１８、２７、３６、４５‥‥と続きますね。
３の倍数は、３、６、９、１２、１５、１８、２１、２４、２７‥‥と続きます。

これを見ると、「９の倍数には、３の倍数ではない数は存在しない」と言えます。
しかし、「３の倍数だからといって、９の倍数になるとは限らない」と言えます。

この２つを言い換えてみましょう。次のようになります。

－－－－－－－－－－

ア　ｘが９の倍数であるためには、最低限、ｘが３の倍数である、という条件が絶対に「必要」だ

⇒　３の倍数であるという「必要」が満たされれば、必ず、９の倍数にもなる

⇒　絶対に欠かしてはいけない条件 ‥‥ これが「必要条件」

－－－－－－－－－－


イ　ｘが３の倍数であるためには、ｘが９の倍数である、という条件があれば「十分」だ

⇒　９の倍数であれば、必ず３の倍数になるが、３の倍数であるためには、そのための条件の１つとして９の倍数でありさえすれば「十分」だ

⇒　３の倍数でも、６や１２は９の倍数ではない

⇒　しかし、９の倍数は必ず３の倍数なのだから、３の倍数であるためには、９の倍数であるという条件は、いくつかの条件の１つに過ぎない

⇒　いくつか必要な条件の１つに過ぎない条件 ‥‥ これが「十分条件」

－－－－－－－－－－

以上のことを数学的に書き表すと、次のような感じになります。

ア　ｘが３の倍数である、ということは、ｘが９の倍数であるための「必要条件」である

イ　ｘが９の倍数である、ということは、ｘが３の倍数であるための「十分条件」である

－－－－－－－－－－

もっとわかりやすく言うとしたら、次のようなイメージになるでしょうか？

ア　必要条件
　必要な条件。最低限でも満たさないといけない条件。広めの条件。

イ　十分条件
　十分過ぎる条件。厳しい条件。狭い条件。

矢印表記で　十 ⇒ 要　とでもして、「重要（十要）」とでも憶えましょう。
Ｐ ⇒ Ｑ（ＰならばＱ）が成り立つとき、ＰはＱの必「要」条件です。ＱはＰの「十」分要件です。

３の倍数（Ｐ） ⇒ ９の倍数（Ｑ） で考えてみますね。
このとき、十 ⇒ 要 という方向性を意識して下さい。
３の倍数（Ｐ）である、ということは、９の倍数（Ｑ）であることの「必「要」条件」。
逆に、９の倍数である（Ｑ）である、ということは、３の倍数（Ｐ）であることの「「十」分条件」です。
かなりわかりやすくなってくると思いませんか？

－－－－－－－－－－

ちなみに、必要条件と十分条件の両方を満たしているときを、必要十分条件を満たしていると言います。
Ｐ ⇒ Ｑ（ＰならばＱ）と Ｑ ⇒ Ｐ（ＱならばＰ）の両方を満たしている、という意味です。
矢印表記で Ｐ ⇔ Ｑ と書き、「同値である」とも言います。

たとえば、ｘが－２および＋２だったら、ｘの２乗は４ですよね？
つまり、ｘ＝±２ ⇔ ｘ^２＝４。ｘが±２であることはｙが４になるための必要十分条件なのです。

ただし、ｘ＝２であることは、ｘ^２＝４ となるための必要条件。
ｘ^２＝４ であることは、ｘ＝２となるための十分要件。
同じく、ｘ＝－２であることは、ｘ^２＝４ となるための必要条件。
ｘ^２＝４ であることは、ｘ＝２となるための十分要件です。

つまり、－か＋のどちらか一方だけだと、必要十分条件を満たすことにはならないわけですね。
±（複号）にして、初めて、ｘ＝２かｘ＝－２という必要条件と十分要件の両方を満たす（必要十分条件を満たす）ことになるわけです。
おもしろいですね。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/14 12:54

図にすると画像のようになります。

今、条件Pは条件Qの範囲の中に完全に包まれています。
このとき、P内にあれば、当然Q内に含まれることになるので
P⇒Qが成り立ち
PであることはQであるための十分な条件と言えます。
＞PはQであるための十分条件

逆にQの一部はPに含まれていないので
Q⇒Pは常に成り立つとは言えない。つまり成り立たない　ということになり、
Qの範囲にあっても、Pの範囲であるためには不十分です。しかしPであるためには少なくともQであることが必要と言えます。
＞QはPであるための必要条件

まとめると
P⇒Qが真
PはQであるための十分条件
QはPであるための必要条件

このようなイメージを持っていれば分かりやすいと思います

具体例として、x=1と言う条件をP,x²＝１という条件Qとします
①x=1はx²＝１であるための○○条件？
Pに含まれるものはx=1だけですが、
x²=1⇔x=±１なので　Qに含まれるものは　x=1とx=-1の２つです
よって下図のように　PはQに完全に包まれた関係になりますから
○○に当てはまるのは十分条件　となります

反対に　②　x²=1はx＝１であるための○○条件？ なら
QはPに包み込まれてはいませんから、QであってもPであるためには不十分。しかし、PであるためにはQであることは必要→必要条件

このように、含む、含まれる　関係を意識してあげると良いかと思います

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/04/14 12:50

ｘ²－４≦０の例で説明しましょう。

これを満たすｘの範囲はー２≦ｘ≦２ですが、－２＜ｘ＜２も条件を満たしています。
１００％ではないが、部分的でも必ず満たす条件を十分条件といいます。
ー３＜ｘ＜４はー３＜ｘ＜－２と２＜ｘ＜４で条件を満たしませんがー２≦ｘ≦２を含むので
必要な条件となります。これを一般に必要条件と言います。
また、ー２≦ｘ≦２は十分条件と必要条件を同時に満たすので、必要十分条件と言います。

No.2 回答者： カレー美味 回答日時： 2020/04/14 12:48

「先が十分、元が必要」と覚えましたねー。

AならばBである　　A→B

この命題で「AならばBである」すなわち「→」すなわち「先(に行く)」が真であれば十分条件。
「BならばAである」すなわち「←」すなわち「元(に戻る)」が真であれば必要条件。

意味はN o.1さんのおっしゃる通りかと。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/14 12:32

人間であれば動物である。

人間→動物

動物であっても、人間とは限らない、犬や猫もいる。
動物→×人間

こういうときに
「人間」は動物であるための「十分条件」
「動物」は人間であるための「必要条件」（必要であるが十分ではない）
と呼びます。
矢印の「元」が「十分条件」、「先」が「必要条件」になります。