不等式の種々の問題

「不等式 x^2-(a^2-2a+1)x+a^2-2a<0 を満たす整数xが存在しない
ようなaの値の範囲を求めよ」という問題です。
解答は、上式を因数分解して
(x-1){x-(a^2-2a)}<0 ----- (1)
次が分からないのですが、これが
0≦a^2-2a≦2 ----- (2)
a^2-2a≧0 より、a(a-2)≧0 だから
a≦0, 2≦a ----- (3)
(a^2-2a)-2≦0 より、
1-√3≦0≦1+√3 ----- (4)
(3)と(4)より
1-√3≦a≦0, 2≦a≦1+√3

上にも書いたように(1)式からどうして(2)の
0≦a^2-2a≦2 が導かれるのかが分かりません。
それ以外のところは分かります。
ちなみにメジアンという問題集に出ている問題68です。

No.1 回答者： Kules 回答日時： 2009/05/31 16:33

この問題は整数解を持たないようにすればよいということですよね？

与式＝０の２次方程式の１つの解は１だとすでに求まっています。
ここでa^2-2a=2.5の時を考えれば、x=2が不等式を満たしてしまうのはグラフを描けば明らかです。
つまり、このグラフはa^2-2a=1以外の時はｘ軸と２つ交点を持ってしまうので、切り取られたｘ軸の中に整数が入らないようにしましょうね、という話です。
荒い説明でごめんなさい。参考になれば幸いです。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/31 16:38

この手の問題の質問が後を絶たない。

座標を使ってもいいんだが，そこまでは必要ないようだ。
いずれにしても、両端で、等号がつく、つかない、事に注意が必要。分からなければ、数直線を書いてみると良い。

a^2-2a＝αとすると、条件式は（x-1）*（x－α）＜0.　‥‥(1)
(1)　α＝1の時、条件式は（x-1）＾2≧0　となって、条件を満たすから、解の一部である。
(2)　α＞1の時、1＜x＜αであるから、条件を満たすには、1＜α≦2.
(3)　α＜1の時、α＜x＜1であるから、条件を満たすには、0≦α＜1.

以上から、題意を満たすには、0≦α≦2　であると良い。つまり、0≦a^2-2a≦2　であると良い。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/05/31 16:42

(1)式→(2)式の間に、次の文章を入れればいいかと思います。

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(1)式を満たす整数 xが存在しないためには、
不等式(1)式の解が
(a) 0 < x < 1
(b) 1 < x < 2
のいずれかとなればよい。
すなわち、0≦a^2-2a≦2 となればよい。
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先の回答でも書かれているように、x軸とグラフの交点を考えてみればわかると思います。

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/05/31 17:02

No.3の者です。

回答に漏れがありました。すみません。
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(c)解なし、すなわち(x-1)^2＜0
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