青チャート 基本例題１９

次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つなのはどのようなときか。
１(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+bv)^2

解説
(a^2+b^2)(x^2+y^2)ー(ax+bv)^2
＝(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2)-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)
＝a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2＞＝０
ゆえに(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+bv)^2
等号が成り立つのはay=bxのとき

教えてほしいところ
等号が成り立つのはay=bxのときという答えに違和感があります。
具体的な数値ではなく文字の等号の時というのは答えとしていいんですか？？

厳密に教えて下さい

No.3 ベストアンサー 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2010/03/07 13:51

違和感の原因を推測して答えます。

違ってたらシカトしてください。

おそらく、質問者さんの今まで解いてきた問題が、たまたま、「x=?」というように具体的数字で表せるときだけだったため、今回、等号を成り立たせるための条件が1つに定まらない場合に遭遇して抵抗を覚えた、のではないでしょうか。

一般に、「Aとなるのはどのようなときか」または「Aとなるための条件は何か」といった問題の場合には、必要十分な条件で答えなければいけません。つまり、その条件をBとすれば、Bを満たす場合はかならずAとなり、そうでない場合はAにはならない、とならなければなりません。

今回の「等号が成り立つ」ための条件は、具体的な数字ではすべてを表せません。
たとえば(a,b,x,y)=(2,1,6,3)は等号が成り立つための条件のひとつです。
ですがこれ以外にも組み合わせは無数にあり、(2,2,3,3)、(6,6,1,1)等も等号が成り立つ条件です。
これらを全部包括して表現する方法は、「ay=bxのとき」というしかありません。

No.2 回答者： 08161216 回答日時： 2010/03/07 13:27

“この等式の場合”なのでもちろん答えは文字でいいです☆

(ax-by)^2=0

になるのは
ax-by=0
のとき

つまり
ax=by
のときですよね☆

No.1 回答者： post_iso 回答日時： 2010/03/07 13:19

解説内４行目の終わり

(ay-bx)^2 >= 0

等号を成り立たせると

(ay-bx)^2 = 0

⇒ay = bx