指数不等式と対数不等式の問題です

定数ｋを整数として、ｘに関する不等式
log[6]ｘ+log[6](2^k+3^k-x)>k……(*)

（１）不等式(*)をみたす実数ｘの範囲

（２）不等式(*)をみたす整数の個数をf(k)とする。f(k)は？

（３）すべての整数ｋに対して不等式f(k)≦f(k+1)が成立ことの証明と
f(k)=f(k+1)をみたす整数ｋをすべて求めよ。

（４）不等式0<f(k+1)－f(k)<2^(k+3)をみたす整数ｋをすべて求めよ。
ただし、必要ならばlog[2]3=1.58とする。


難しいらしいです…。

解ける方がいらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/09/30 14:15

（１）不等式(*)をみたす実数ｘの範囲

真数条件x＞0、2^k+3^k-x＞0
log[6]ｘ+log[6](2^k+3^k-x)=log[6]x(2^k+3^k-x)=yとおくと
6^y=x(2^k+3^k-x)＞6^k
x^2-(2^k+3^k)x+6^k＜0
(x-2^k)(x-3^k)＜0
k＞0のとき、2^k＜x＜3^k(真数条件を満たす)・・・答え
k＜0のとき、3^k＜x＜2^k(真数条件を満たす)・・・答え
k=0のとき、xは存在せず。・・・答え
（２）不等式(*)をみたす整数の個数をf(k)とする。f(k)は？
k＞0のとき、f(k)=3^k-2^k-1・・・答え
k≦0のとき、f(k)=0
（３）すべての整数ｋに対して不等式f(k)≦f(k+1)が成立ことの証明と
f(k)=f(k+1)をみたす整数ｋをすべて求めよ。
k≦0のときはf(k)=f(k+1)=0なのでf(k)≦f(k+1)が成立する。
k=1の時はf(k)=3^1-2^1-1=3-2-1=0、f(2)=3^2-2^2-1=9-4-1=4
なので、f(k)≦f(k+1)が成立する。
1≦kでf(k)≦f(k+1)、すなわち3^k-2^k-1≦3^(k+1)-2^(k+1)-1が
成立すると仮定すると、
3^k≦3^(k+1)-2^(k+1)+2^k=3^(k+1)-2^k、
3*3^k≦3*3^(k+1)-3*2^k＜3*3^(k+1)-2*2^k
3^(k+1)≦3^(k+2)-2^(k+1)=3^(k+2)-2^(k+1)
=3^(k+2)-2*2^(k+1)+2^(k+1)
よって3^(k+1)-2^(k+1)-1≦3^(k+2)-2^(k+2)-1、すなわち
f(k+1)≦f(k+2)が成立する。以上で、すべての整数ｋに対して
不等式f(k)≦f(k+1)が成立ことが証明された。
k＞0のとき、f(k)=3^k-2^k-1、f(k+1)=3^(k+1)-2^(k+1)-1
3^k-2^k-1=3^(k+1)-2^(k+1)-1
3^(k+1)-3^k-2^(k+1)+2^k=3*3^k-3^k-2*2^k+2^k=2*3^k-2^k=0
2=2^k/3^k=(2/3)^kを満たすkは無い。
k≦0のときはf(k)=f(k+1)=0なので、f(k)=f(k+1)をみたす整数ｋ
は0以下の全ての整数である。
（４）不等式0<f(k+1)－f(k)<2^(k+3)をみたす整数ｋをすべて求めよ。
ただし、必要ならばlog[2]3=1.58とする。
1≦kとしてf(k+1)－f(k)=3^(k+1)-3^k-2^(k+1)+2^k
=3*3^k-3^k-2*2^k+2^k=2*3^k-2^k＜2^(k+3)
2*3^k-2^k-2^(k+3)=2*3^k-2^k-8*2^k=2*3^k-9*2^k＜0
2*3^k＜9*2^k、3^k/2^k＜9/2、(3/2)^k＜9/2
klog[2](3/2)＜log[2](9/2)
k(log[2]3-log[2]2)＜2log[2]3-log[2]2
k(1.58-1)＜2*1.58-1
k＜2.16/0.58≒3.7、1≦kであるから
0<f(k+1)－f(k)<2^(k+3)をみたす整数ｋは1、2及び3・・・答え