数学の質問です。 命題p,q,rに対してp→qが真である(すなわちp⇒qである)とき、以下の命題につ

数学の質問です。


命題p,q,rに対してp→qが真である(すなわちp⇒qである)とき、以下の命題について、真偽を答えよ。真偽が不明な時は三角印で答えよ。

との問題で、(1)は画像のようなものでした。
私はこの画像のように同値変形して、p⇒qだけでは足らないから、真偽は不明であると結論づけました(答えは正しく求められています)
この結論づけは、感覚に頼った、論理的ではない思考なのでしょうか。

というのも、回答は全く別の方法、
方法1:真理表を用いる
方法2:Aが真の時、｢Bの真偽｣は｢A→Bの真偽｣に一致することを用いる
と言った二つの方法を用いており、いずれも私の用いた方法よりもかなり手間をかけています。教えてください。

質問者からの補足コメント

• 回答は、以下のURLの画像のようなものです。(ここの画像アップロードだと文字が潰れるのでURLで貼ります)
  
  https://d.kuku.lu/265279ec3

    補足日時：2021/03/20 21:18

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2021/03/22 18:04

いっていることは、もう1行補えば

p→q が真の元で、p→(q∧r) の真偽と p→r の真偽が同じだ
ということです。
だから△と結論を出すには、実際に、p→q　が真である時に、p→r　が真にも偽にもなる場合があることを言わないとまずいでしょう。これを明らかというのであれば、意味を考えれば pだけから無条件でrが出るはずはない、で済んでしまいますから。

解答の方はどちらもこれをきっちり示しています。真理表でない手法は、p→q が真の元で、結論p→(q∧r)が真になるのが￢p∨￢q∨rの場合で、結論が偽になるのが p∧q∧￢rの場合である、と示しているはずです。この方法なら、もっと複雑な文になっても機械的に判定できます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「実際にp→qが真であるときに、p→rが真にも偽にもある場合があることをいわないとまずい」
これなのですが、そもそもp→rに関する情報は与えられていないため、「p→rが真であるかどうかはいかなる場合においても不明」という解釈をしています(示しようがないと思っております。)。
「これを明らかというのであれば、意味を考えればpだけから無条件にrが出るわけないで済んでしまう」
→違うのでしょうか。
命題pとrの関係に関する情報(と、それに繋がる情報)は何一つ与えられていないため、p→rの真偽は判定できないと思うのですが……


一応、回答の方法が複雑な時も使えるとの事でしたので、覚えておくこととします。

お礼日時：2021/03/23 11:42

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/03/20 23:36

p⇒q ならば, ｐ⇒(q∧r) とはいえない。

はまず日本語としてまずい.
p⇒q ならば, 「ｐ⇒(q∧r) とはいえない。」
つまり
p⇒q ならば「p⇒(q∧r) といえない」
と解釈することができる. また, そこをおいてもその上の
(p→q) ∧ (p→r)
からいきなりそこに持ち込むのは言葉が足りてない. その理由を書くべきだろう.

あと, そのあとの
p⇒r でもなければ, ☆の真偽は不明
はおかしい. 「p→r が恒偽」というのは「p⇒r でもなければ」に含まれるけど「☆の真偽」はわかるよね.

この回答へのお礼

｢(p→q)∧(p→r)｣の真偽を判定するには、p→qとp→rの少なくとも一方が偽であること、または両方が真であることを知らねばならない。しかし、今与えられているのは、｢p→qが真である｣ということだけなので、真偽判定は不可能。

理由を書くとすればこんな感じでしょうか


下の方に書いてくださった、指摘はまさにその通りでした。その可能性を見落としておりました。


ご回答ありがとうございます！

お礼日時：2021/03/21 00:04

No.1 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/03/20 22:32

それでいいと思いますが、最後の文は違います。

p→rが真ならp→(q∧r)も真、p→rが偽ならp→(q∧r)も偽になります。p→rでなくても真偽は定まります。

この回答へのお礼

御二方に同じところを指摘されました。
その通りでした。
ありがとうございます！

お礼日時：2021/03/21 00:01