P(x)を満たすxが存在することとP(x)が成り立つことが同値であることを証明するにはどうすれば良い

P(x)を満たすxが存在することとP(x)が成り立つことが同値であることを証明するにはどうすれば良いでしょうか？

質問者からの補足コメント

• P(x)を関係とする. x∈A
  P(x)を満たすa∈Aが存在する
  ⇔
  あるb∈Aがあって、P(b)が成立する
  これはどのように証明すれば良いでしょうか

    補足日時：2020/05/19 18:31

• 定義でしょうか？

    補足日時：2020/05/19 18:32

• 返信ありがとうございます。
  
  要するに言いたいことは
  
  数学書などで
  
  P(x)を満たすUの要素xが存在する
  
  あるUの要素xについてP(x)が成り立つ
  
  の2通りの表現がありますが、これは単なる言葉の定義なのか、数学的に別々に定義され、同値であることが証明出来るのかどちらなのでしょう

    補足日時：2020/05/19 19:28

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/05/19 18:44

No.1へのコメントについてです。

ご質問と全然違う話じゃないですか…

　ともあれ、P(x)は述語のようです。普通これを「関係」とはあんまり呼ばないけれども、x∈P を P(x)と書けば、ま、確かに関係の一種とも言える。

で、

> P(x)を満たすa∈Aが存在する
>⇔
>あるb∈Aがあって、P(b)が成立する

どっちもきちんと書けてない。そして、きちんと書き直すとどっちも同じなんです。

> P(x)を満たすa∈Aが存在する
のほうは、P(x)にaが出てこないんで、「P(x)を満たすa」という表現が意味をもたない。きちんと言えば「(a∈Aであり、かつ、P(a)である) aが存在する」すなわち
∃a( a∈A ∧ P(a))

> あるb∈Aがあって、P(b)が成立する
「あるb∈Aがあって」というのは略記法としてしばしば使われているけれども、[
b∈A]というモノがある、という話ではないんで、正確な表現ではない。正確に言えば「(b∈Aであり、かつ、P(b)である) bが存在する」すなわち
∃b( b∈A ∧ P(b))

束縛変数がaかbかの違いがありますが、束縛変数ってのは（同じ命題の中で使われている他の文字とカブらない限り）どんな文字を持ってきても命題の意味は変わらない。

この回答へのお礼

ありがとうございましたm(__)m

お礼日時：2020/05/19 23:46

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/05/19 18:25

「成り立つ」かどうかを問う対象は、命題でなくちゃいけない。

(1) 「P(x)を満たすxが存在する」が命題なのだとすると、P(x)のxは自由変数ということになり、従ってP(x)は述語であって命題ではない。（xに何か具体的なモノ（定項）aを代入したP(a)なら命題になる。）
(2) 逆に「P(x)」が命題なのだとすると、xは定項でなくてはならず、従って「P(x)を満たすxが存在する」は命題になっていない（ってか、ただの意味不明の文字列ということになる）。