No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1へのコメントについてです。
ご質問と全然違う話じゃないですか…
ともあれ、P(x)は述語のようです。普通これを「関係」とはあんまり呼ばないけれども、x∈P を P(x)と書けば、ま、確かに関係の一種とも言える。
で、
> P(x)を満たすa∈Aが存在する
>⇔
>あるb∈Aがあって、P(b)が成立する
どっちもきちんと書けてない。そして、きちんと書き直すとどっちも同じなんです。
> P(x)を満たすa∈Aが存在する
のほうは、P(x)にaが出てこないんで、「P(x)を満たすa」という表現が意味をもたない。きちんと言えば「(a∈Aであり、かつ、P(a)である) aが存在する」すなわち
∃a( a∈A ∧ P(a))
> あるb∈Aがあって、P(b)が成立する
「あるb∈Aがあって」というのは略記法としてしばしば使われているけれども、[
b∈A]というモノがある、という話ではないんで、正確な表現ではない。正確に言えば「(b∈Aであり、かつ、P(b)である) bが存在する」すなわち
∃b( b∈A ∧ P(b))
束縛変数がaかbかの違いがありますが、束縛変数ってのは(同じ命題の中で使われている他の文字とカブらない限り)どんな文字を持ってきても命題の意味は変わらない。
No.1
- 回答日時:
「成り立つ」かどうかを問う対象は、命題でなくちゃいけない。
(1) 「P(x)を満たすxが存在する」が命題なのだとすると、P(x)のxは自由変数ということになり、従ってP(x)は述語であって命題ではない。(xに何か具体的なモノ(定項)aを代入したP(a)なら命題になる。)
(2) 逆に「P(x)」が命題なのだとすると、xは定項でなくてはならず、従って「P(x)を満たすxが存在する」は命題になっていない(ってか、ただの意味不明の文字列ということになる)。
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P(x)を関係とする. x∈A
P(x)を満たすa∈Aが存在する
⇔
あるb∈Aがあって、P(b)が成立する
これはどのように証明すれば良いでしょうか
定義でしょうか?
返信ありがとうございます。
要するに言いたいことは
数学書などで
P(x)を満たすUの要素xが存在する
あるUの要素xについてP(x)が成り立つ
の2通りの表現がありますが、これは単なる言葉の定義なのか、数学的に別々に定義され、同値であることが証明出来るのかどちらなのでしょう