数学の「命題」の範囲について、問題は解けるのですが理解がイマイチできていないところがあるので質問させ

数学の「命題」の範囲について、問題は解けるのですが理解がイマイチできていないところがあるので質問させていただきます。

例えば、「猫ならば動物である」という命題について
「命題の逆を考えること」と「必要条件を考えること」は同じことでしょうか？

この命題自体は真ですが
「動物ならば猫である」という逆は偽ですよね。
そして、この逆について考えたことは「QがPの必要条件ではない」ことを示すことと同じでしょうか？

正直なにがわかっていないかもわからないくらい混乱しております。
もしよろしければ、易しく解説していただけると助かります！

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/03/03 16:28

皆さんの説明は正しいと思いますが、若干説明不十分なところがあるのではないでしょうか。

命題というとき主語と述語がきちんとあることが重要では？ここでは「Aは猫である」という命題（命題Pと呼びましょう）と「Aは動物である」（命題Qと呼びましょう）があり、命題Pと命題Qの関係が問題になっている。質問者さんがみとめているように、
「Aは猫である」ならば、「Aは動物である」(つまり、P⇒Q）
が成り立つので、「Aは猫である」は「Aは動物である」ための十分条件であり、「Aは動物である」は「Aは猫である」ための必要条件ということになる。つまり、Ｐ⇒Ｑが成り立つとき、ＰはＱの十分条件、ＱはＰの必要条件、という。さらに、逆、つまりＱ⇒Ｐが成り立つなら、PはQの必要条件でもあるので、ＰはＱの必要十分条件という。しかし、逆は偽、つまり「Ａは動物である」ならば、「Ａは猫である」は成り立たないので、ＰはＱの必要十分条件ではない、ということがわかったということでしょう。

＞そして、この逆について考えたことは「QがPの必要条件ではない」ことを示すことと同じでしょうか？

と書いていますが、上で示したように、逆が成り立たないということはPがQの必要条件でない、ということです。（よって、PはQであるための必要十分条件ではない、ということです。）

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/03 14:16

猫→動物の命題が真の場合、猫が十分条件、動物が必要条件

逆命題の場合
動物→猫、この命題が真のば場合、この十分条件は動物、必要条件は猫
真では無いから十分条件でも必要条件で無いです。

「命題の逆を考えること」は、逆も真かどうかを考えるって事です。

>>この逆について考えたことは「QがPの必要条件ではない」ことを示すことと同じでしょうか？

同じじゃ無いですよ。
動物→猫が偽であっても、逆の猫→動物は真なのですから。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/03 14:16

> 「QがPの必要条件ではない」ことを示すことと同じでしょうか？

いや、関係ない。それは必要十分条件かどうかを検討する場合に意味があります。

「猫ならば動物である」が真であることから、全く自動的に

その対偶である「動物でないならば猫でない」も真であり、
「猫であること」は「動物であること」の十分条件であり、
「動物であること」は「猫であること」の必要条件であり、
「動物でないこと」は「猫でないこと」の十分条件であり、
「猫でないこと」は「動物でないこと」の必要条件である、

が言えます。
（ここまで、逆なんか関係ありません。）


逆である「動物ならば猫である」が偽であることからは、全く自動的に

その対偶（元の命題から見れば「裏」）である「猫でないならば動物でない」も偽であり、
「猫でないこと」は「動物でないこと」の十分条件ではなく、
「動物でないこと」は「猫でないこと」の必要条件ではなく、
「動物であること」は「猫であること」の十分条件ではなく
「猫であること」は「動物であること」の必要条件ではない、

が言えます。
そして、


「猫ならば動物である」が真で、かつ、その逆である「動物ならば猫である」が偽であることから、全く自動的に

「猫であること」は「動物であること」の必要十分条件ではない。
「動物であること」は「猫であること」の必要十分条件ではない。
「猫でないこと」は「動物でないこと」の必要十分条件ではない。
「動物でないこと」は「猫でないこと」の必要十分条件ではない。
（要するに、「猫」と「動物」は同一の概念ではない。）

が言えます。


> 混乱しております

　もしかして、「PはQの必要条件ではなく十分条件でもない」という場合があることをお忘れなのかもしれないな、と思いました。

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/03 14:14

できる限り分かりやすく説明してみます。

「命題の逆を考えること」と「必要条件を考えること」は、基本的には別のことです。

「命題の逆を考えること」とは、命題の前件と後件を逆にした命題を考えることです。つまり、命題「猫ならば動物である」の逆は「動物ならば猫である」となります。逆の命題が元の命題と同じかどうかは、一般には成り立たない場合があります。今回の例では、「猫ならば動物である」という命題は真であるのに、「動物ならば猫である」という逆の命題は偽になってしまいます。

「必要条件を考えること」とは、ある条件を満たすために必要な条件を考えることです。つまり、ある命題が成り立つために必要な条件を考えることになります。今回の例でいうと、「猫ならば動物である」という命題が成り立つためには、「猫」であることが必要です。つまり、「猫であること」が「猫ならば動物である」という命題の必要条件となります。

このように、「命題の逆を考えること」と「必要条件を考えること」は基本的には別のことですが、逆の命題が成り立たない場合には、そのことが必要条件でないことを示すことにもなります。

例えば、命題「AであるためにはBであることが必要である」という場合には、「BであることがAであるための必要条件である」と言えます。しかし、命題「AであるためにはBであることが十分である」という場合には、「BであることがAであるための必要条件ではない」と言えます。

混乱しているかもしれませんが、少しでも解決に向かうことを願っています。