証明問題

AB平行DCである四角形ABCDの辺AD,BC上にそれぞれ点M,Nがあり、AM:MD=1:2,BN:NC=1:2を満たすとする。
MN平行ABなどを「ベクトルを使って」証明するわけですが、なぜこれはベクトルが良いと分かるのでしょうか。ほかにも証明方法はあると思いますが、これがやりやすそうです。しかしなぜベクトルだとひらめくかが分かりません。
何を基準に考えて思いつくのか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： thetas 回答日時： 2006/05/14 03:04

＞「ベクトルを使って」証明するわけですが、なぜこれはベクトルが良いと分かるのでしょうか。

という部分については、ベクトルの練習問題だからなのではないでしょうか。というのが、私の意見です。

＞ほかにも証明方法はあると思いますが、これがやりやすそうです。

幾何の解法とベクトルの解法とその他の解法のどれが解き易いかは、個人差があると思います。
ベクトルだと、図形的性質をある程度計算で処理できますし、ある程度決まった計算があると私は思います。
そこが、やりやすいと感じる原因かもしれませんね。

No.2 回答者： take008 回答日時： 2006/05/13 22:02

ACを引いて，その上に AP:PC=1:2 の点Pをとると，証明できます。

うまい補助線に気がつくか，ベクトルを使うか，座標をおいてやるか，
この方法がベストだ，というのはないのでは？

No.1 回答者： debut 回答日時： 2006/05/13 21:27

以前他のところで、この証明問題に答えようとしていろいろ考えたのです

が、図形の性質だけではなかなかうまくいかず、ベクトルなら簡単なのに
と思ったことがありました。

というのも、図形の性質なら、平行をいうためには「錯角・同位角が等し
い」とか「三角形の相似」を使うわけなのですが、AM:MDとBN:NCが等しい
ことをそれらに結びつける理由がみつからないのです。
（逆のことは定理にもなっているのに・・）

例えば、BCを平行移動させてBをAにつけて三角形と平行四辺形を作ったに
しても、AD,BCをそれぞれ延長させて三角形を作ったにしても AM:MD=BN:NC
を結びつけることができない。
無理にやろうとすれば煩雑になりそうだし・・・

そして、図形の性質はあきらめて「ベクトルの平行条件を使えば」できる
ということになったのが正直なところです。

参考までに。