計算の途中で頭パニック！

(1)
AB=2AC,cosA=9/16の△ABCにおいて、
BCを直径とする半円をBCに関して頂点Aと反対側に作る。
辺BCを２：１に内分する点をＰとし、
直線APと半円との交点をＱとする。
AQベクトル＝αABベクトル＋βACベクトルとするとき、
αの値とAP：PQの比を求めよ。

この問題であと少しで解けそうな所までいったんですけど
αとβの２次方程式がでてきて、しかも因数分解できません。
ＣＱ⊥ＢＱを用いてα、βの値を出そうと思って
ABベクトル・ACベクトル＝lABl×2lABl×cosA＝9/8lABl2乗
lACl2乗＝４lABl2乗という風にlABlを基準にして解いたら
α2乗＋α（9/4β－17/8）＋４β2乗－41/8β＋9/8＝０
という式がでてきました。
分数が入っていて分かりにくいので頭パニックです。
どこが違っているのか、アドバイス下さい。


(2)
△ABCにおいて、∠Aの２等分線と辺BCの交点をＤとし、
その外接円の中心をＯとする。
AB=2、AC=3、∠A＝θ、1/2ABベクトル＝ｂベクトル、
1/3ACベクトル＝ｃベクトルとするとき、
AOベクトルをｂベクトル、ｃベクトル、θで表せ。

これも途中の式で頭がパニックになりました。
AB、ACの中点をそれぞれＭ、ＮとするとOM⊥AM、ON⊥AN
AOベクトル＝ｓｂベクトル＋ｔｃベクトル（ｓ・ｔは実数）とおく
lAMl=lANl=lmlとするとlbl=lml、lcl=2/3lmlとかける
ｂベクトル・ｃベクトル＝2/3lml2乗cosθ
lbl2乗=lml2乗
lcl2乗=4/9lml2乗
以上より
lml2乗（１－ｓ－2/3ｔcosθ）＝０
lml2乗（－ｓcosθ＋１－2/3ｔ）＝０
それぞれ両辺lml2乗で割ったあとから分からなくなりました。
どこが間違っているのか、アドバイス下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： shushou 回答日時： 2001/07/25 03:07

まず(2)について

＞どこが間違っているのか、アドバイス下さい。
合っていますよ。
ただ高校生なら誰でも１度は勘違いするポイントがあって
そこでつまずいているだけです。
よーく問題文を見てください。
＞AOベクトルをｂベクトル、ｃベクトル、θで表せ。
θで表せ、とあるでしょう。
つまり、答えの中にθが入っていてもいいよ、
と出題者は言っているのです。
もっというと、答えの中にcosθやsinθやtanθが入っていてもいい、のです。
ですから、
１－ｓ－2/3ｔcosθ＝０
－ｓcosθ＋１－2/3ｔ＝０
をs,tの連立方程式とみて普通に解けばいいんですよ。
上の式よりs=1-2/3tcosθなのでこれを下の式の代入して整理すると
(2cosθ^2-2)t=3cosθ-3
よって、
t=3(cosθ-1)/2(cosθ^2-1)=3/2(cosθ+1)
（分母を因数分解するとcosθ-1で割れますね。）
またs=cosθ/(cosθ+1）
と分かります。これを
AOベクトル＝ｓｂベクトル＋ｔｃベクトル
に代入すればOKです。

(1)について
chemistryさんは
＞ＣＱ⊥ＢＱを用いてα、βの値を出そうと
したようですが、この条件だけでは残念ながら答えは出ません。
ＣＱ⊥ＢＱという条件は点Qは円周上にあるよ、
といっているだけですから点Qの位置が特定できませんね。
それにα、βという２つの分からないものを求めたいのですから
条件が２つ、つまり方程式が２つ必要です。
（これ大事です。問題を解くときには常に次のことを意識すると良いですよ。
未知数の数と同じ個数の方程式が（普通は）作れるはず）
そこで点Qの位置を決める条件を考えますと
１つは、点Qが円周上にあるための条件
もう１つはnikorinさんのおっしゃるように
３点A,P,Qが一直線上にあるための条件
ですね。
nikorinさんのようにＣＱ・ＢＱ＝０をｋで表してもよいですし、
２つ目の条件はβ＝2αと表せますから、それをchemistryさんの努力の結晶の
＞α2乗＋α（9/4β－17/8）＋４β2乗－41/8β＋9/8＝0
に代入しても答えが出ます。
なお、点Qが円周上にあるための条件は
半円の中心をMとして
MQ＝BCの半分の長さ
ととらえてもOKです。
ただし、いずれの方法も超めんどくさい計算を経て
２次方程式がでてきますが、因数分解できず
めちゃめちゃ汚い答えになります。
こういう問題は多少の計算ミスは気にしなくていいと思いますよ。

長々と書いてしまってごめんなさい。

No.2 回答者： nikorin 回答日時： 2001/07/24 17:59

(1)のヒント

ＡＰとＡＱは同一直線状にあるから、ＡＱ＝kＡＰと書けますよね。
これを使うと、ＣＱ・ＢＱ＝０はkだけで表せますよ。

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2001/07/24 16:56

今考え中ですが、困り度３と言うことで気づいたところまで、

＞AB=2AC,
＞．．．
＞lACl2乗＝４lABl2乗
逆では？
４lACl2乗＝lABl2乗