aとbが互いに素 aとcが互いに素 このとき aとbcが互いに素であることを示すにはどうすればよいで

aとbが互いに素
aとcが互いに素

このとき

aとbcが互いに素であることを示すにはどうすればよいですか？

出来れば、背理法以外でお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/21 00:27

素直に考えれば...

bc が a の素因数のひとつ p で割り切れるとすれば、
p は素数なので b または c を割り切れて
(a と b)または(a と c)に共通素因数 p があることになる。
これは仮定に反するので、背理法により題意は成立。

素元の定義に直結したシンプルな証明で、
これよりも簡潔なものがありそうな気はしない。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2020/07/21 10:24

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/07/21 09:29

aとbcが互いに素でないと

a=md
bc=me , b=me/c , c=me/b
aとｂは共通の約数ｍを持つ
aとｃは共通の約数ｍを持つ
aとbが互いに素でない
aとcが互いに素でない
矛盾が導かれたので、aとbcは互いに素である。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2020/07/21 10:25

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/21 05:16

「a と b が互いに素」 iff 「ma+nb=1 となる整数 m, n が存在する」でいけるな.

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2020/07/21 10:24