No.3ベストアンサー
- 回答日時:
どこまで使えるのか…わからないですが。
まず1を代入してみる(0次の係数が-1なので)と等式が成り立つので、(x-1)で割れることがわかります。
割ってみると
(x^2-x+1)(x-1)=0
となりますね。
ここで2次式に解の公式を用いて解を三つ求めてしまってもできます。
しかし、そうしない方が簡単です。
a=1 として
(x^2-x+1)=(x-b)(x-c)
とすると、
b+c=1 , bc=1
がわかります。
よって、
a^2+b^2+c^2
=1+(b+c)^2-2bc
=1+1-2
=0
さらに
x^2-x+1=0
の解がb,cなので、
b^2-b+1=0
変形して
b^2-b=-1・・・(1)
また、
b^2=b-1
の両辺にbをかけると
b^3=b^2-b
(1)より
b^3=-1
同様に
c^3=-1
a=1 だから
a^3+b^3+c^3
=1-1-1
=-1
以上です。
No.4
- 回答日時:
>a^3+b^3+c^3は自分でやってみてください
それはないだろう。2乗の和なんかとは比べものにならない問題だよ。。。。。w
解と係数から、a+b+c=2、ab+bc+ca=2、abc=1.
a^3 +b^3 +c^3 =a^3 +b^3 +c^3 -3abc+3abc=(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=(a+b+c)*((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))+3abc
以下は、自分で計算できるだろう。
別解として
x^3 =2x^2 -2x +1 だから、a^3 =2a^2 -2a +1であるから、bもcも同様にして
a^3 +b^3 +c^3=2(a^2 +b^2 +c^2)-2(a +b +c)+3 としてやっても良い。
この次数を下げる方法は、いろんなことに有効だから覚えておいたら良い。
質問者は高1だろうか?高2になったら、数列を習うだろう。
そうすると、2乗の和、3乗の和だけではなく、4乗の和、5乗の和、6乗の和 ‥‥‥ なんかも簡単に求められる方法がある。
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