xの方程式 x^3 -2x^2 +2x -1 = 0 の解を a,b,

Question

xの方程式 x^3 -2x^2 +2x -1 = 0 の解を a,b,c とするとき、 a^2 +b^2 +c^2　及び a^3 +b^3 +c^3 の値の求め方を教えてください。

lord2blue · Accepted Answer

どこまで使えるのか…わからないですが。

まず1を代入してみる(0次の係数が-1なので)と等式が成り立つので、(x-1)で割れることがわかります。
割ってみると
 (x^2-x+1)(x-1)=0
となりますね。

ここで2次式に解の公式を用いて解を三つ求めてしまってもできます。
しかし、そうしない方が簡単です。

a=1 として
 (x^2-x+1)=(x-b)(x-c)
とすると、
 b+c=1 , bc=1
がわかります。
よって、

a^2+b^2+c^2
=1+(b+c)^2-2bc
=1+1-2
=0

さらに
 x^2-x+1=0
の解がb,cなので、
 b^2-b+1=0
変形して
 b^2-b=-1・・・(1)
また、
 b^2=b-1
の両辺にbをかけると
 b^3=b^2-b
(1)より
 b^3=-1

同様に
 c^3=-1

a=1 だから

a^3+b^3+c^3
=1-1-1
=-1

以上です。

mister_moonlight · Answer

＞a^3＋b^3＋c^3は自分でやってみてください

それはないだろう。2乗の和なんかとは比べものにならない問題だよ。。。。。ｗ

解と係数から、a＋b＋c＝2、ab＋bc＋ca＝2、abc＝1.
a^3 +b^3 +c^3 ＝a^3 +b^3 +c^3 -3abc+3abc＝(a＋b＋c)*(a＾2＋b＾2＋c＾2-ab-bc-ca)＋3abc＝(a＋b＋c)*((a＋b＋c)＾2-3(ab＋bc＋ca))＋3abc

以下は、自分で計算できるだろう。

別解として

x^3 ＝2x^2 -2x ＋1 だから、a^3 ＝2a^2 -2a ＋1であるから、bもcも同様にして
a^3 +b^3 +c^3＝2(a^2 +b^2 +c^2)-2(a +b +c)＋3　としてやっても良い。
この次数を下げる方法は、いろんなことに有効だから覚えておいたら良い。

質問者は高1だろうか？高2になったら、数列を習うだろう。
そうすると、2乗の和、3乗の和だけではなく、4乗の和、5乗の和、6乗の和　‥‥‥　なんかも簡単に求められる方法がある。

noname#116057 · Answer

3次方程式の解と係数の関係より
a＋b＋c＝2，ab＋bc＋ca＝2，abc＝1
　a^2＋b^2＋c^2
＝(a＋b＋c)^2－2(ab＋bc＋ca)
＝2^2－2×2＝4－4＝0
a^3＋b^3＋c^3は自分でやってみてください。

yukaru · Answer

とりあえずｘ－１で割ってみるのがいいでしょう

上等な答えを求めてるんじゃないんでしょ？

どこまで使えるのか…わからないですが。