数学です。 P=a^2+b^2+c^2-ab-bc-caとおく。a,b.cは実数。 問:0≦a≦1,

数学です。

P=a^2+b^2+c^2-ab-bc-caとおく。a,b.cは実数。
問:0≦a≦1,1≦b≦2,2≦c≦3のとき、Pの最小値を求めよ。また、そのときのa,b,cの値を求めよ。

自分の解答 0≦a≦1,1≦b≦2,2≦c≦3より、
0≦a^2≦1,1≦b^2≦4,4≦c^2≦9
それぞれの両辺を加えて、5≦a^2+b^2+c^2≦14
つまりa^2+b^2+c^2の最小値は5である。
同様に、0≦ab≦2,2≦bc≦6,0≦ca≦3
それぞれの両辺を加えて、2≦ab+bc+ca≦11
ここで、a^2+b^2+c^2が最小となるようなa,b.cの値を選ぶと、ab+bc+caも最小となるような値をとる。
つまりa^2+b^2+c^2が5のとき、ab+bc+caは2である、よってa^2+b^2+c^2-ab-bc-caの最小値は5-2=3このときのa,b,cの値は、a^2+b^2+c^2=5 かつab+bc+ca=2を満たすa,b,cである……
ここのa,b,cを求めるところで止まっています。

ここからどうやってa,b,cを求めればいいでしょうか？
それ以前にここまでの解答は間違ってますか？
添削、修正お願いします。

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/04/22 21:10

0≦a≦1、1≦b≦2、2≦c≦3 の条件があるから、a≦b≦c

P＝a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca
＝(1/2)・(2a^2＋2b^2＋2c^2－2ab－2bc－2ca)
＝(1/2)・(a^2－2ab＋b^2＋b^2－2bc＋c^2＋c^2－2ca＋a^2)
＝(1/2)・{(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2}
＝(1/2)・{(b－a)^2＋(c－b)^2＋(c－a)^2}

ここで (b－a)^2＋(c－b)^2 を考えてみる。
相加相乗の関係より、(b－a)^2＋(c－b)^2≧2(b－a)･(c－b)

つまり、(b－a)^2＋(c－b)^2 の最小値は、b－a＝c－b の時、つまりb＝(a＋c)／2 の時に (c－a)^2／2　となる。
だから、P＝(1/2)・{(b－a)^2＋(c－b)^2}＋(1/2)・(c－a)^2 ≧ (1/2)・(c－a)^2／2＋(1/2)・(c－a)^2 ＝ (3/4)・(c－a)^2

c－aの最小値は1 (c＝2、a＝1)
だから、Pの最小値は3/4、この時、c＝2、b＝3/2、a＝1

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/22 20:08

0≦a≦1≦b≦2≦c≦3

P=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
P=b^2-b(a+c)+a^2+c^2-ca

P={b-(a+c)/2}^2+3(c-a)^2/4

-1≦-a≦0
2≦c≦3
1≦c-a≦3
1≦(c-a)^2≦9
3/4≦3(c-a)^2/4≦27/4

P={b-(a+c)/2}^2+3(c-a)^2/4≧3(c-a)^2/4≧3/4

c-a=1
b=(a+c)/2

a=1
c=2
b=3/2
の時Pの最小値は
P=3/4

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/22 19:50

間違っていますねえ。

P ではなく Q = (a^2+b^2+c^2) + (ab+bc+ca) の最小値を求める問題ならば、
a=0, b=1, c=2 のとき a^2+b^2+c^2 が最小値 5、ab+bc+ca も最小値 2 なので
Q は最小値 5+2 になると言えるのですが...
P = (a^2+b^2+c^2) - (ab+bc+ca) では、そうはいきません。
a^2+b^2+c^2 が 5 より大きいけれど、 ab+bc+ca も 2 より大きいために
P が 5-2 より大きくなるような a,b,c があるかもしれないからです。(実際、あります。)