数学です。 P=a^2+b^2+c^2-ab-bc-caとおく。a,b.cは実数。 問:0≦a≦1,

数学です。

P=a^2+b^2+c^2-ab-bc-caとおく。a,b.cは実数。
問:0≦a≦1,1≦b≦2,2≦c≦3のとき、Pの最小値を求めよ。また、そのときのa,b,cの値を求めよ。

自分の解答 0≦a≦1,1≦b≦2,2≦c≦3より、
0≦a^2≦1,1≦b^2≦4,4≦c^2≦9
それぞれを加えて、5≦a^2+b^2+c^2≦14
つまりa^2+b^2+c^2の最小値は5である。
同様に、0≦ab≦2,2≦bc≦6,0≦ca≦3
それぞれを加えて、2≦ab+bc+ca≦11
ここで、a^2+b^2+c^2が最小となるようなa,b.cの値を選ぶと、ab+bc+caも最小となるような値をとる。
つまりa^2+b^2+c^2が5のとき、ab+bc+caは2である、よってa^2+b^2+c^2-ab-bc-caの最小値は5-2=3このときのa,b,cの値は、a^2+b^2+c^2=5 かつab+bc+ca=2を満たすa,b,cである……
ここのa,b,cを求めるところで止まっています。

ここからどうやってa,b,cを求めればいいでしょうか？
それ以前にここまでの解答は間違ってますか？
添削、修正お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/22 20:12

0≦a≦1≦b≦2≦c≦3

P=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
P=b^2-b(a+c)+a^2+c^2-ca

P={b-(a+c)/2}^2+3(c-a)^2/4


-1≦-a≦0
2≦c≦3
1≦c-a≦3
1≦(c-a)^2≦9
3/4≦3(c-a)^2/4≦27/4

P={b-(a+c)/2}^2+3(c-a)^2/4≧3(c-a)^2/4≧3/4

c-a=1
b=(a+c)/2
の時Pは最小となる

a=1
c=2
b=3/2
の時Pの最小値は
P=3/4