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高校の宿題の問題です。
aの4乗+bの4乗+cの4乗はどのようにして解くのですか?ちなみに、a+b+c=2,ab+bc+ca=-5,abc=-6という条件付きです。途中式など書いていただけるとありがたいです!
わからなくて、とても困っています。
どなたか、教えてください!

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

 こんにちは、No3です。



  わかりにくい部分は、文字を置き換えましょう。

  応用する式は、文字を変えますが、

   (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx という展開公式を 変形して得られる

           x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 ー(2xy+2yz+2zx) 

                    = (x+y+z)^2 ー2(xy+yz+zx)   (1)

  ですね。 x=a^2 , y=b^2, z=c^2  とおけば、

a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2 - 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

ここで 右辺の第一項は 再びそのまま (1)が使えます。

          右辺の第二項は、カッコ内が ab=A, bc=B, ca=C とおくと 

A^2+B^2+C^2 の形ですから、またまた (1) が使えます。

   こうして右辺第一項は 
    カッコ内 が (a+b+c)^2 ー2(ab+bc+ca)  でそのまま条件の値が代入できます

   がら その値の二乗になります。

   右辺の第2項は、

    (ab+bc+ca)^2 - 2(abbc+bcca+caab) = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(b+c+a)

となって、条件の値が代入できますね。

  めでたしめでたし・・・・・

  数の代入計算は御自分でしてください。

   繰り返しになりますが、形を見極めて、ややこしいところは、別の文字に置き換えてみる・・・・・

  これも「難しいものを易しいほうに持っていく。」という原則ですね。

  この解き方の方向をマスターしましょう。

  言い換えると、知らない形を知っているまたはもう習った形に比べて、何か置き換えをしてみたら、易しいほうに向かうことになります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!
解くことができました!
本当にありがとうございました!

お礼日時:2014/03/28 08:19

ついでに.



「解く」というのは, 方程式や不等式が与えられたときに, その方程式・不等式にふさわしいものを求める行為を意味します. そして, 「a^4+b^4+c^4」はただの式であって方程式でも不等式でもありません. つまり, 「aの4乗+bの4乗+cの4乗はどのようにして解くのですか」というのは, 数学における表現として間違っています.

a^4+b^4+c^4 の値を求める
のように, 「正確な表現」を心掛けてください.
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この回答へのお礼

教えて頂いてありがとうございます。
気づいておりませんでした。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2014/03/27 09:45

a, b, c を求めて代入する.

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2014/03/27 09:45

 こんにちは、



 数学のとき方は基本的な考え方があります。

難しい問題を、易しい問題に置き換えていくというやり方です。

これは数学のどの分野でもそうなのです。

 さて、問題は4次式だから、これをおきかえて4次式で無い部分を作ります。

4次式=2次式の二乗 と考えるのです。

 このとき、この問題は、さらに a、b、cの対称式であるということにも注意を払います。

 3つの文字の2乗の式で、使えそうなものを考えるのです。

  aの2乗+bの2乗+cの2乗 と関係するのは

  (a+b+c)2乗=a2乗+b2乗+c2乗+2ab+2bc+2ca

なので、a2乗+b2乗+c2乗=(a+b+c)2乗-(2ab+2bc+2ca)

   これを aの4乗+bの4乗+cの4乗 に応用すれば、

    aの4乗+bの4乗+cの4乗=(a2乗+b2乗+c2乗)2乗ー2(a~2b^2+b~2c^2+c^2a^2)

    とみごとに、2乗のかたちになります。

   これで、右辺のカッコ内それぞれにもう一度上の式を応用すれば、それぞれ一次式の2乗の形に持っていけますね。

  とき方の方向性をつかんでくださいね。

  ここから先は自分でやってみましょう。途中でわからなければ、またそこを質問してね。

この回答への補足

回答ありがとうございます!もう一度質問聞いていただけますか?
aの4乗+bの4乗+cの4乗に応用したときに、引く値の部分の式がよくわかりません。
2a2乗b2乗+2b2乗c2乗+2a2乗c2乗をひくということですか?
その部分がよくわからなかったので、もう一度教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

補足日時:2014/03/27 09:54
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この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございました!
もう一度、質問聞いていただけるとありがたいのですが…
お願いします。

お礼日時:2014/03/27 09:55

宿題ならばヒントだけ。

(a^2はaの2乗の意味です)

この問題で、a^4+b^4+c^4を求めようとして、
いきなり(a+b+c)^4を計算しようとするとうまくいきません。
できないことはないが、計算力がないと収拾がつかなくなるでしょう。
以下の4段階作戦を考えると効率的でしょう。
「困難は分割せよ」というのが教訓かもしれません。

1、a^4+b^4+c^4をa^2+b^2+c^2とa^2・b^2+b^2・c^2+c^2・a^2で表せないか?できる。

2、a^2+b^2+c^2を与えられたa+b+c,ab+bc+caの値から求められないか?できる。

3、a^2・b^2+b^2・c^2+c^2・a^2を与えられたa+b+c,ab+bc+ca,abcの値から求められないか?できる。

4、1,2,3を組み合わせればa^4+b^4+c^4が計算できる。

では、やってみましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!
課題テストがあるので本当に助かりました!

お礼日時:2014/03/26 18:57

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