交代式と整数問題

Question

a ,b , c は、1<a<b<c を満たす整数とし、(ab-1)(bc-1)(ca-1) は
abcで割り切れるとする.このとき

(1) ab+bc+ca-1は abc で割り切れることをして示せ.
(2) a, b , c の組を全て求めよ.

syotao · Accepted Answer

また1つやりかたみつけました：
最初の仮定　(ab-1)(bc-1)(ca-1)≡0　（mod.abc）と
bc≡0（mod.bc）より
(ab-1)(-1)(ca-1)≡0　（mod.bc）左辺展開してabca≡0’（mod.bc）
に注意すれば
ab＋ca-1≡0（mod.bc）つまりab＋ca-1＝ｍbc　ｍ≧1　と書けるが
mbc＜ab＋ca＜2bcなのでｍ＜2、ｍ＝1、これから
ab＋ca-1＝bc･･･①となる。
次に最初の仮定からbc-1＝ℓa　ℓ≧1　と書けるが
①の両辺から1を引いて右辺をℓaでおきかえて整理すると
(b＋c-ℓ)a＝2　これからa＝2　が出る。すると
ab－１＝ckは　2b-1＝ck　で　ck＜2ｂ＜2cよりｋ＜2、ｋ＝1だから
ｃ＝2b-1　
一方、①からab－1＝ｃ(b－a)だからab－1＝ｃとくらべると
b－a＝1、ｂ-2＝1、ｂ＝3、ｃ＝2ｂ-1＝5

どうでしょう？

Arima01 · Answer

(1) ab+bc+ca-1 は abc で割り切れることをして示せ。

(ab-1)(bc-1)(ca-1) が abc で割り切れるので、
(ab-1)(bc-1)(ca-1) = abcn (n は正の整数)
(左辺) = (abbc - ab - bc + 1)(ca-1)
　　　= aabbcc - aabc - abcc + ca - abbc + ab + bc - 1
　　　= abc(abc-a-b-c) + ab+bc+ac-1
つまり、
abc(abc-a-b-c) + ab+bc+ac-1 = abcn
ab+bc+ac-1 = abc(n - (abc-a-b-c))
よって、
n - (abc-a-b-c) が整数なので ab+bc+ac-1 は abc で割り切れる。

(2) a, b, c の組を全て求めよ。

1<a<b<c より、
① a の最小値は 2
② 1/c < 1/b < 1/a
③ 1/a の最大値は 1/2

ab+bc+ac-1 が abc で割り切れるので、
ab+bc+ac-1 = abcm (m は正の整数) より、
abcm = ab+bc+ac-1 の両辺 abc で割って、
m = 1/c+1/a+1/b-1/abc
　 < 1/a+1/a+1/a-1/abc = 3/a-1/abc（なぜなら②）
　 < 3/2-1/abc（なぜなら③）
　 < 3/2
よって、m = 1

abc = ab+bc+ac-1 の両辺 bc で割って、
a = a/c+1+a/b-1/bc
　< 1+1+1-0
　< 3
よって、a = 2

2bc = 2b+bc+2c-1 の両辺 c で割って、
2b = 2b/c+b+2-1/c
　 < 2+b+2
b < 4
よって、b = 3

6c = 6+3c+2c-1
よって、c = 5

a = 2
b = 3
c = 5

syotao · Answer

う～ん、b＜ｃ、6≦cならｂ＜6　ってあなたは結論しているけど
これはｂ＝7、ｃ＝8とすればｂ＜6ではないよね。
ただ最後のｋ＝1、a＝2の推論はあってます。
（こんなやりかたもあったんだ、わからなかった笑）
a＝2をつかって、ｃｋ＝2ｂ-1＜2ｃ　ｋ＜2、ｋ＝1だから
ｃ＝2ｂ-1　です。
これが何かの役に立つかしら？
お返事はいつでもいいから、からだだけは気をつけてくださいね(^^);

syotao · Answer

そうかぁ
ab+bc+ca-1＝kabc　をbcでわってka≦2、ka＝2、k＝1、a＝2
と単純だ笑。

syotao · Answer

設問（2）
設問（1）より　 ab+bc+ca-1＝kabc　ｋ整数≧1、これから
ｋ＝1/a＋1/b＋1/c-1/abc＜1/2＋1/2＋1/2＝1.5、k≦1ゆえにk＝1
つまり
 ab+bc+ca-1＝abc　これから
a＝a/c＋1＋a/b-1/bc＜1＋1＋1＝3、a≦2ゆえにa＝2
したがって
2b-bc＋2c-1＝0、ここで(b-2)(c-2)＝bc-2b-2c＋4だから
上の式は
(b-2)(c-2)＝3、になりこれからｂ-2＝1、ｃ-2＝3
∴求める解はa、b、c＝2、3、5　のただ一組である。

これくらいしかおもいつかんなぁ（^^）

syotao · Answer

うん、あなたの解答の（補足命題）は有名な定理だね。
忘れてました笑。
互いに素の証明はそのとおりです。
さて、設問（2）のあなたの解答で（a、b、c）＝（2、3、5）以外に
解がない、という事実はどう証明しますか、教えてほしい（^^);

eatern27 · Answer

>本文には、abcで割り切れる事が前提です
貴方が背後でどう考えていようが、貴方がそれを書いてない以上、貴方の考えは読み手には伝わりません。どう考えたのかを読み手に伝えるのが証明なので、証明としては不十分だと言う話をしたのですよ。

ちなみに「a,b,cが互いに素」は普通は「a,b,cの最大公約数が1」という意味で使われます。(例えば「6,10,15は互いに素」は正しい主張です)
「aとb、bとc、cとaがそれぞれ互いに素」 =「a,b,cのどの2つも互いに素」とは異なる意味であり、「a,b,cが互いに素」を確認しただけではその後の話に支障が出てきますので、正しい言葉使いをした方が良いでしょう。

syotao · Answer

う～ん、さすがにb、cがaの倍数でないからb、cがaと互いに素
は言いすぎ（笑）たとえばa＝4、ｂ＝6、ｃ＝10

でもあなたがあげた③の式からb、cがaと互いに素が出てくるのを
見つけたのでそれを述べる：
a≡0（mod.a）なので③からbc-1≡0（mpd.a）これから
bc-1＝ｋaしたがってbc＝ｋa＋1と書ける。ｋは整数。･･･（1）
いまa、ｂの最大公約数を（a、b）等と書くことにすると
（1）とユークリッドの互除法から
（bc、a）＝（a、1）＝1、これから（ｂ、a）＝1、（ｃ、a）＝1
つまりｂ、ｃはaと互いに素である。おなじようにして
ca-1≡0（mod.b）から（ｃ、ｂ）＝1つまりｃがbと互いに素が出る。
結局a、b、ｃが互いに素だからあなたの目論見どおり
ab+bc+ca-1≡0（mod.abc）が出ます。
あなたの目の付けどころがすごい！

endlessriver · Answer

#5の返信について。

難しすぎて私にはわかりませんでした。m(_ _)m

syotao · Answer

少し補足しておくと
ｘ≡0、（mod.a）（mod.b）（mod.c）というのは
ｘがa、b、cの公倍数ということです。
しかし公倍数は最小公倍数の倍数という定理があるので
ｘ≡0、（mod.a）（mod.b）（mod.c）ならば
ｘ≡0（mod.ｄ）ｄはa、b、cの最小公倍数ということになります。
なので
a、b、ｃのどの2つをとっても互いに素なら
a、b、ｃの最小公倍数は　abc　だから、このときは
ab+bc+ca-1≡0（mod.a）（mod.b）（mod.c）から
ab+bc+ca-1≡0（mod.abc）が即言えます。

交代式と整数問題

また1つやりかたみつけました：

(1) ab+bc+ca-1 は abc で割り切れることをして示せ。

う～ん、b＜ｃ、6≦cならｂ＜6 ってあなたは結論しているけど

そうかぁ

設問（2）

うん、あなたの解答の（補足命題）は有名な定理だね。

>本文には、abcで割り切れる事が前提です

う～ん、さすがにb、cがaの倍数でないからb、cがaと互いに素

#5の返信について。

少し補足しておくと

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