必要条件、十分条件、必要十分条件

次の問題は、「必要条件である」、「十分条件である」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが最も適当か。ただし、a,b,cは実数とする。
(1) a=b=cは、a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0である。
(2)a=b=cは、 a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0である。

僕の答え
(1)必要条件
a=b=c=1としたとき
1^2+1^2+1^2-(1*1)-(1*1)-(1*1)=0
よって左→右はOK
右から左はうまく因数分解できなかったので
NGと判断しました。
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
(a+b-c)^2-3ab+bc+ca=0

(2)必要条件でも十分条件でもない
a=b=c=1としたとき
1^2+1^2+1^2+(1*1)+(1*1)+(1*1)=6
よって左→右は成り立たないのでNG

右から左はうまく因数分解できなかったので
NGと判断しました。
a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0
(a+b+c)^2-ab-bc-ca=0

どうしたらいいですか？
あとあっていますか？
教えていただけませんか？

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/05/11 10:38

えーと、まず、

P⇒Q なら、PはQに対する十分条件。
Q⇒P なら、PはQに対する必要条件。
P⇒QかつQ⇒Pなら、PはQに対する必要十分条件。

ここでは a=b=c がなんなのかを問題とすることにします。

1) a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 1/2 * ( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ) = 0
なので、解は a=b=c 従って必要十分条件です。

2) a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca = 1/2 * ( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 ) = 0
なので、 a=b=c=0 従って、

a=b=c=0 ⇒ a=b=c ですが a=b=c ⇒ a=b=c=0 は成り立たないので、必要条件です。

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/05/11 19:12

No.3 回答者： yaemon_2006 回答日時： 2011/05/11 03:13

>a=b=c=1としたとき

　1以外のときは？

>右から左はうまく因数分解できなかったので
>NGと判断しました。
　因数分解できないと、何故NG？

No.2 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/05/11 02:38

どうやら書き方の作法がよくわかってないようです。

補足に書いてあった部分を直してみましたので見てみてください。

> a=b=cをからa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0が成り立つときと
> a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0からa=b=cがなりたつ時という意味で、両方が成り立つと必要十分条件で

↑こういう場合は、↓のように書いてください：

『「a=b=c」ならば「a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0」』が成り立ち、
かつ、『「a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0」ならば「a=b=c」』が成り立つとき、

「a=b=c」は「a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0」であるための必要十分条件である。


> a=b=cをからa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0だけが成り立た時は必要条件

↑こういう場合は、↓のように書いてください：

『「a=b=c」ならば「a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0」』が成り立つとき、

「a=b=c」は「a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0」のための十分条件である。

なお、

『「a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0」ならば「a=b=c」』が成り立っても成り立たなくてもOK。



原則は、「PならばQ」のとき「PをQであるための十分条件」、「QをPであるための必要条件」というのが基本。安直な言い方をすると、前にあるのが十分条件で、後ろにあるのが必要条件。

なお、「PがQであるための必要十分条件」ならば、「PはQであるための十分条件」であり、「PはQであるための必要条件」でもあることに注意。


なお、上記の説明はあくまで作法についてなので、元の質問の回答になっているとは限りません。1番の後段部分を参照して実際どうなるか確かめてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2011/05/11 19:13

No.1 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/05/10 20:57

問題文がよく理解できません。

たとえば、

「(1) a=b=cは、a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0である。」

というのは一字一句間違いなくそうかかれてましたか？どこか違ってるはず。

それを確認してもらって、方針として特定の値（1とか）だけ検証してもダメなことを理解してください。

あと、具体的には

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-1)^2

や

(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2

を計算してみればわかると思います。

この回答への補足

a=b=cをからa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0が成り立つときと
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0からa=b=cがなりたつ時という意味で、両方が成り立つと必要十分条件で
a=b=cをからa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0だけが成り立た時は必要条件みたいにやるみたいなんすが
高校数学Aなので高校1年でならうやつでとかないといけないんです。
すみません。
間違ってたら教えていただけないでしょうか？

補足日時：2011/05/10 23:43