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3次方程式x^3-2^2+3x-4=0の3つの解を
3つの複素数の範囲で考え、それらをα、β、γとする。
このとき、α^4+β^4+γ^4の値とα^5+β^5+γ^5の値は?

解けそうで解けなくて、悩んでます(><)
解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いします。

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A 回答 (4件)

書き込みミス。



x^3-2^2+3x-4=0 から x^3=2x^2-3x+4
よって、x^4=x^3*x=2x^3-3x^2+4x=2(2x^2-3x+4)-3x^2+4x=x^2-2x+8
又、x^5=x^4*x=x^3-2x^2+8x=(2x^2-3x+4)-2x^2+8x=5x+4
これは α、β、γの全てにいえるから
・α^4+β^4+γ^4=(α^2+β^2+γ^2)-2(α+β+γ)+8×3
・α^5+β^5+γ^5=5(α+β+γ)+4×3

これに解と係数から α+β+γ=2、αβ+βγ+γα=3 を使うだけ。
α^2+β^2+γ^2 の計算はできるだろう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

すっきりしました^^*

お礼日時:2012/09/15 15:24

次数が大きい時は、次数を下げる。

それが定石。

x^3-2^2+3x-4=0 から x^3=2x^2-3x+4
よって、x^4=x^3*x=2x^3-3x^2+4x=2(2x^2-3x+4)-3x^2+4x=x^2-2x+8
又、x^5=x^4*x=x^3-2x^2+8x=(2x^2-3x+4)-2x^2+8x=5x+4
これは α、β、γの全てにいえるから
・α^4+β^4+γ^5=5(α+β+γ)+4×3
これに解と係数を使うだけ。


(注)次数を下げる方法は他にもある。

x^4とx^5を x^3-2^2+3x-4 で割ると次の恒等式が得られる。
x^4=(x+2)*(x^3-2^2+3x-4)+x^2-2x+8
x^5=(x^2+2x+1)*(x^3-2^2+3x-4)+5x+4
x^3-2^2+3x-4=0から x^4=x^2-2x+8、x^5=5x+4
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α、β、γはタイプしにくいのでa,b,cとします。



解と係数の関係より

a+b+c=2
ab+bc+ca=3
abc=4

予備

a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=4-6=-2

これがものすごく不思議です。

複素数としてありうるのでしょう。

a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=9-2*4*2=-7

a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^3-3abc)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
=2(-2-3)+3*4=2


解答


a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
=(-2)^2-2*(-7)=4-14=18


(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)

a^5+b^5+c^5=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)-[a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)]
=2*(-2)-[a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(c+a)]
=-4-[a^2b^2(2-c)+b^2c^2(2-a)+c^2a^2(2-b)]
=-4-[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-abc(ab+bc+ca)]
=-4-[2(-7)-4*3]
=22
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>x^3-2^2+3x-4=0はミスタイプ



x^3-2x^2+3x-4=0または
x^3-x^2+3x-4=0?

この回答への補足

ご指摘ありがとうございます(><)

x^3-2x^2+3x-4=0で正しいです^^*

補足日時:2012/09/15 09:27
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