No.4ベストアンサー
- 回答日時:
書き込みミス。
x^3-2^2+3x-4=0 から x^3=2x^2-3x+4
よって、x^4=x^3*x=2x^3-3x^2+4x=2(2x^2-3x+4)-3x^2+4x=x^2-2x+8
又、x^5=x^4*x=x^3-2x^2+8x=(2x^2-3x+4)-2x^2+8x=5x+4
これは α、β、γの全てにいえるから
・α^4+β^4+γ^4=(α^2+β^2+γ^2)-2(α+β+γ)+8×3
・α^5+β^5+γ^5=5(α+β+γ)+4×3
これに解と係数から α+β+γ=2、αβ+βγ+γα=3 を使うだけ。
α^2+β^2+γ^2 の計算はできるだろう。
No.3
- 回答日時:
次数が大きい時は、次数を下げる。
それが定石。x^3-2^2+3x-4=0 から x^3=2x^2-3x+4
よって、x^4=x^3*x=2x^3-3x^2+4x=2(2x^2-3x+4)-3x^2+4x=x^2-2x+8
又、x^5=x^4*x=x^3-2x^2+8x=(2x^2-3x+4)-2x^2+8x=5x+4
これは α、β、γの全てにいえるから
・α^4+β^4+γ^5=5(α+β+γ)+4×3
これに解と係数を使うだけ。
(注)次数を下げる方法は他にもある。
x^4とx^5を x^3-2^2+3x-4 で割ると次の恒等式が得られる。
x^4=(x+2)*(x^3-2^2+3x-4)+x^2-2x+8
x^5=(x^2+2x+1)*(x^3-2^2+3x-4)+5x+4
x^3-2^2+3x-4=0から x^4=x^2-2x+8、x^5=5x+4
No.2
- 回答日時:
α、β、γはタイプしにくいのでa,b,cとします。
解と係数の関係より
a+b+c=2
ab+bc+ca=3
abc=4
予備
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=4-6=-2
これがものすごく不思議です。
複素数としてありうるのでしょう。
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=9-2*4*2=-7
a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^3-3abc)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
=2(-2-3)+3*4=2
解答
a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
=(-2)^2-2*(-7)=4-14=18
(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)
a^5+b^5+c^5=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)-[a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)]
=2*(-2)-[a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(c+a)]
=-4-[a^2b^2(2-c)+b^2c^2(2-a)+c^2a^2(2-b)]
=-4-[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-abc(ab+bc+ca)]
=-4-[2(-7)-4*3]
=22
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