一つの文字について整理とは？ （因数分解）

こんにちは、独学で数学Iを勉強している者です。

a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
この式を因数分解せよ、という問題なのですが
これをaについて整理すると
(c-b)a²+(b²-c²)a+(bc²-b²c)
になると解説に書いてありました。

a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
＝(c-b)a²+(b²-c²)a+(bc²-b²c)

この部分が理解できません。
詳しく説明して頂けると嬉しいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： white-kitten 回答日時： 2011/06/05 14:27

私なりの見解を述べさせて頂きます。

a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
=(ab²-ac²)+(bc²-a²b)+(a²c-b²c)
=ab²-ac²+bc²-a²b+a²c-b²c
=(a²c-a²b)+(ab²-ac²)+(bc²-b²c)
=(c-b)a²+(b²-c²)a+(bc²-b²c)


まどろっこしいような気もしますが、一応このような流れだと思います。

余り参考になったとは思えませんが…。

なにかご不明な点があれば「補足」していただけると幸いです。

この回答への補足

white-kittenさん回答ありがとうございます。
うわ！理解出来ましたありがとうございます！
何て馬鹿なんでしょう私は。

しかし皆さんは何故
a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
＝(c-b)a²+(b²-c²)a+(bc²-b²c)
を一発で理解できるのですか？
頭の中で一度分配するところまで考えていらっしゃるのですか？

補足日時：2011/06/05 14:45

No.5 回答者： zarbon 回答日時： 2011/06/05 14:32

分配法則　a(b＋c)＝ab＋acを使って展開します。

すると、

a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)＝(ab^2－ac^2)＋(bc^2－a^2b)＋(a^2c－b^2c)

aの次数が高い順(降べき順)に並べ替えて
＝－a^2b＋a^2c＋ab^2－ac^2＋bc^2－b^2c

a^2とaをくくり出して、
＝(c-b)a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-b^2c)

となります。

No.4 回答者： yukaru 回答日時： 2011/06/05 14:28

>b(c²-a²)+c(a²-b²)が何故(c-b)a²+(bc²-b²c)

>になるのか分かりません
なぜ気づかないとは思いつつ

b(c²-a²)=bc²-ba²
c(a²-b²)=ca²-cb²

b(c²-a²)+c(a²-b²)=bc²-ba²+ca²-cb²=-ba²+ca²+bc²-cb²=(c-b)a²+(bc²-b²c)

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/05 14:08

勝手な推測ですが、もしかして、

　　a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
　　= (c-b)a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-b^2c)
には悩んでも、
　　x(b^2-c^2)+b(c^2-x^2)+c(x^2-b^2)
　　= (c-b)x^2+(b^2-c^2)x+(bc^2-b^2c)
だと、自力で整理できるんではないでしょうか？

「一つの文字について整理」とは、この場合、
a は変数、b, c は定数と思って多項式を整理する
という意味です。

この回答への補足

alice_44さん回答ありがとうございます。

xにも置き換えてみたのですが
やはり
b(c²-x²)+c(x²-b²)＝(c-b)x²+(bc²-b²c)が理解できませんでした。
(c-b)や(bc²-b²c)等はどのように出てきたのですか？

補足日時：2011/06/05 14:29

No.1 回答者： yukaru 回答日時： 2011/06/05 14:01

詳しくといっても

a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)を括弧からはずして並べ替えただけですね

この回答への補足

yukaruさん返答ありがとうございます。

a(b²-c²)＝(b²-c²)a
と、これはさすがに分かるのですが

b(c²-a²)+c(a²-b²)が何故(c-b)a²+(bc²-b²c)
になるのか分かりません。おそらく何か大事なことを忘れてるんだと思います・・。
出来たら、括弧の外し方を教えて頂きたいです。
恥ずかしい質問ですが。

補足日時：2011/06/05 14:08