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a三乗(bーc)+b三乗(cーa)+c三乗(aーb)

これの答えとやり方を説明していただけませんか

質問者からの補足コメント

  • 言葉が足りずにすみません。
    これを因数分解するとどうなりますか?

      補足日時:2016/05/25 17:58
教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

教科書的やり方


次数の高くない文字を主役にした多項式とみる

a^3 (b-c) + b^3 (c-a) + c^3 (a-b)
= (b-c)a^3 - (b^3-c^3)a + b^3 c - bc^3  ← a の多項式として整理
= (b-c)a^3 -(b-c)(b^2 + bc + c^2)a +bc(b+c)(b-c)  ← 項を因数分解
= (b-c){ a^3 - (b^2 +bc + c^2)a +bc(b+c) }
= (b-c){ (c-a)b^2 + (c^2 - ca)b + a^3 - c^2 a }  ← b でまとめた。次数が a より低かったから
= (b-c){ (c-a)b^2 + c(c-a)b - a(c+a)(c-a) }
= (b-c)(c-a){ b^2 + cb -a(c+a) }
= (b-c)(c-a){ (b-a)c + b^2 - a^2 }
= (b-c)(c-a)( (b-a)c +(b-a)(b+a) }
= (b-c)(c-a)(b-a){ c+(b+a) }
= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

一つの文字で整理する → 共通因数が出る → まとめる
の作業しかやってません。

見ずにできるようにしてほしい。そうでなければ私が書き込んだ意味が無い。



おまけ
a-b, b-c, c-a が因数にあることはすぐわかるので、その因数があれば必ずまとめられる!と信じたのがこれ

a^3 (b-c) + b^3 (c-a) + c^3 (a-b)
= a^3 (b-c) + b^3 (c-b+b-a) + c^3 (a-b)  ← b-c と a-b のグループに二分されるが互いの因数が出るはず!
= a^3 (b-c) - b^3 (b-c) - b^3 (a-b) + c^3 (a-b)
= (b-c)(a^3 - b^3) - (a-b)(b^3 - c^3)
= (b-c)(a-b)(a^2 + ab + b^2) - (a-b)(b-c)(b^2 + bc + c^2)  ← キターーーーーッ!
= (a-b)(b-c)(a^2 + ab - bc - c^2)
= (a-b)(b-c){ (a-c)b + (a-c)(a+c) }
= (a-b)(b-c)(a-c)(b+a+c)
= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
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せっかくのUTF8の掲示板・・


a³(b - c) + b³(c - a) + c³(a - b)
 a = b のとき
 a³(a - c) + a³(c - a) + c³(a - a)
 = a⁴ - a³c + a³c - a⁴ + c³( 0 )
 = a⁴ - a⁴ - a³c + a³c + c³( 0 )
 = 0
  でa = b、すなわち(a - b)が因数だということはわかる。同様に(a - c)(b - c)も因数だとわかるので、(a - b)(b - c)(a -c) を展開すると
(a - b)(b - c)(a -c)
= (ab - ac - b² + bc)(a -c)
= a²b - abc - a²c + a²c - ab² + b²c - bc²
= a²b - abc       - ab² + b²c - bc²
= a²b - abc - ab² + b²c - bc²

 で、いったん与式を展開して
= a³b - a³c + b³c - ab³ + ac³ - bc³
= a³b - a³c - ab³ + ac³ + b³c - bc³

おなじみの筆算      ________________
a²b - abc - ab² + b²c - bc²) a³b - a³c - ab³ + ac³ + b³c - bc³

 をしてみる。
             _a_______________
a²b - abc - ab² + b²c - bc²) a³b - a³c - ab³ + ac³ + b³c - bc³
             _a³b - a²bc - a²bc - a²b² + ab²c - abc²_
               - a³c - ab³ + ac³ + b³c - bc³ + a²b² - ab²c + abc²
と小学校の割り算の筆算をすればよい。割り切れるのがわかって居る。

公式もあるけど、公式がわからなければ、計算すればよい
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a^3・(b - c) + b^3・(c - a) + c^3・(a - b) = (a + b + c)(b - a)(c -

a)(b - c)
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とりあえず式は分かった.



問題はなんですか?
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