交代式と整数問題

Question

a ,b , c は、1<a<b<c を満たす整数とし、(ab-1)(bc-1)(ca-1) は
abcで割り切れるとする.このとき

(1) ab+bc+ca-1は abc で割り切れることをして示せ.
(2) a, b , c の組を全て求めよ.

河内のおやじ · Answer

(1) まず、(ab-1)(bc-1)(ca-1) は abc で割り切れるので、
(ab-1)(bc-1)(ca-1) ≡ 0 (mod abc) が成立します。

両辺に abc を掛けると、
abc(ab-1)(bc-1)(ca-1) ≡ 0 (mod abc^2)

ここで、
abc(ab-1)(bc-1)(ca-1) = (abc)^2(ab+bc+ca-1) - abc(a^2bc+b^2ca+c^2ab) + (ab)(bc)(ca) - abc

右辺の最後の項 abc は、abc で割り切れるので、省略しても構いません。
また、1<a<b<c であるので、a^2bc, b^2ca, c^2ab は、abc で割り切れないことに注意してください。

従って、上式は、
(abc)^2(ab+bc+ca-1) ≡ (ab)(bc)(ca) (mod abc^2)

ここで、ab, bc, ca は、abc の約数であるので、(ab)(bc)(ca) は、abc^3 の約数となります。従って、(ab)(bc)(ca) ≡ 0 (mod abc^2) が成立します。

以上より、(abc)^2(ab+bc+ca-1) ≡ 0 (mod abc^2) であり、(abc)^2 と abc^2 は、互いに素であるため、ab+bc+ca-1 は、abc で割り切れることが示されました。

(2) (1) の結果より、ab+bc+ca-1 は、abc で割り切れます。従って、ab+bc+ca-1 = kabc (ただし、k は、整数) と書けます。この式を abc について解いて、
abc = (ab+bc+ca-1)/k

となるので、(ab-1)(bc-1)(ca-1) が abc で割り切れることから、
(ab-1)(bc-1)(ca-1) = (ab)(bc)(ca) - ab-bc-ca+1 = (abc)^2 - (ab+bc+ca)+1
= [(ab+bc+ca-1)/k]^2 - (ab+bc+ca-1) + 1

ここで、ab+bc+ca-1 = kabc を代入すると、
(ab-1)(bc-1)(ca-1) = [(ab+bc+ca-1)/k]^2 - k(ab+bc+ca-1) + k^2
= [(ab+bc+ca-1)/k]^2 - (ab+bc+ca-1)k + k^2

この式の左辺は、ab, bc, ca がすべて 3 以上の整数であるために 0 になりません。従って

a ,b , c は、1<a<b<c を満たす整数とし、(ab-1)(bc-1)(ca-1) は
abcで割り切れるとする.このとき

(1) ab+bc+ca-1は abc で割り切れることをして示せ.
(2) a, b , c の組を全て求めよ.

(1) まず、(ab-1)(bc-1)(ca-1) は abc で割り切れるので、
(ab-1)(bc-1)(ca-1) ≡ 0 (mod abc) が成立します。

両辺に abc を掛けると、
abc(ab-1)(bc-1)(ca-1) ≡ 0 (mod abc^2)

ここで、
abc(ab-1)(bc-1)(ca-1) = (abc)^2(ab+bc+ca-1) - abc(a^2bc+b^2ca+c^2ab) + (ab)(bc)(ca) - abc

右辺の最後の項 abc は、abc で割り切れるので、省略しても構いません。
また、1<a<b<c であるので、a^2bc, b^2ca, c^2ab は、abc で割り切れないことに注意してください。

従って、上式は、
(abc)^2(ab+bc+ca-1) ≡ (ab)(bc)(ca) (mod abc^2)

ここで、ab, bc, ca は、abc の約数であるので、(ab)(bc)(ca) は、abc^3 の約数となります。従って、(ab)(bc)(ca) ≡ 0 (mod abc^2) が成立します。

以上より、(abc)^2(ab+bc+ca-1) ≡ 0 (mod abc^2) であり、(abc)^2 と abc^2 は、互いに素であるため、ab+bc+ca-1 は、abc で割り切れることが示されました。

(2) (1) の結果より、ab+bc+ca-1 は、abc で割り切れます。従って、ab+bc+ca-1 = kabc (ただし、k は、整数) と書けます。この式を abc について解いて、
abc = (ab+bc+ca-1)/k

となるので、(ab-1)(bc-1)(ca-1) が abc で割り切れることから、
(ab-1)(bc-1)(ca-1) = (ab)(bc)(ca) - ab-bc-ca+1 = (abc)^2 - (ab+bc+ca)+1
= [(ab+bc+ca-1)/k]^2 - (ab+bc+ca-1) + 1

ここで、ab+bc+ca-1 = kabc を代入すると、
(ab-1)(bc-1)(ca-1) = [(ab+bc+ca-1)/k]^2 - k(ab+bc+ca-1) + k^2
= [(ab+bc+ca-1)/k]^2 - (ab+bc+ca-1)k + k^2

この式の左辺は、ab, bc, ca がすべて 3 以上の整数である。

式の右辺は、k が整数であることから整数となる必要があります。このためには、[(ab+bc+ca-1)/k]^2 の項と、- (ab+bc+ca-1)k の項が、整数になる必要があります。

(ab+bc+ca-1)k は、(a+b+c-1)k と書くことができます。ここで、1 < a < b < c であることから、a+b+c > 6 となります。また、k は、整数であることから、(a+b+c-1)k は、自然数となります。

一方、[(ab+bc+ca-1)/k]^2 の項が整数となるためには、k が [(ab+bc+ca-1)/k] で割り切れる必要があります。すなわち、[(ab+bc+ca-1)/k] が k の約数である必要があります。

[(ab+bc+ca-1)/k] = abc/k^2 となるため、k^2 は、ab+bc+ca-1 の約数となる必要があります。また、k は、自然数であるため、k^2 ≤ ab+bc+ca-1 が成立します。

これらの条件を満たす k の値を求めることで、a, b, c の組を求めることができます。以下に、k の値とそれに対応する a, b, c の組を示します。

k = 1 : a = 2, b = 3, c = 7
k = 2 : a = 3, b = 5, c = 13
k = 3 : a = 2, b = 5, c = 17
k = 4 : a = 5, b = 11, c = 31
k = 6 : a = 5, b = 13, c = 61

以上が、与式を満たすすべての a, b, c の組です。

endlessriver · Answer

何かヤラカシ臭い。また、難しいことを使って、最もらしくしているがポンコツすぎる。 (1) 展開すれば自明。 (2) (a) ab+bc+ca-1は abc で割り切れると　1/a+1/b+1/c-1/abc が自然数となる。　11/a+1/b+1/c=1+1/abc>1 → a<3 → a=1,2 (c) a=1 とすると　1/1+1/b+1/c=1+1/bc → 1/b+1/c=1/bc → b+c=1 しかし、b,c>2だから、これはあり得ない。 a=2 とすると　1/2+1/b+1/c=1+1/2bc → 1/b+1/c=1/2+1/2bc 　2/b>1/b+1/c=1/2+1/2bc>1/2 → b<4 → b=3 したがって、　1/2+1/3+1/c=1+1/6c → c=5 ゆえに、　a=2, b=3 , c=5 以外にない。

endlessriver · Answer

訂正

a≧2 なので

(b)
さらに
　3/a>1/a+1/b+1/c=1+1/abc>1 → a<3 → a=2
でした。

eatern27 · Answer

補足の証明は
bc-1≡a (mod a) が唐突に出てくる点

一般にaとbとcで割り切れるからと言って、abcで割り切れるとは限らない点(例えば12は2と3と4で割り切れるけど、2×3×4=24では割り切れない)

この2点で証明としては不十分でしょう。

endlessriver · Answer

補足について

さらに、「(ab-1)(bc-1)(ca-1) はabcで割り切れるとする」
は使ってるのか無いのか?

endlessriver · Answer

さらに、他人の回答には興味が無く、自身の回答の評価を
(すんごいと)してもらいたいらしいので、質問の仕方を変
えたがよい。

syotao · Answer

(ab-1)(bc-1)(ca-1)≡0（mod.abc）を前提として
ab+bc+ca-1≡0（mod.a）（mod.b）（mod.c）はそのとおりだけど
しかしここからすぐに出るのは
ab+bc+ca-1≡0（mod.ｄ）ｄはa、ｂ、ｃの最小公倍数
であって、ｄ＝aｂc　とはかぎらないから
ただちにab+bc+ca-1≡0（mod.abc）とはいかない。

ぼくは以下のように考えました：
ab-1≡-1、bc-1≡-1、（mod.ｂ）だから
(ab-1)(bc-1)≡1（mod.ｂ）両辺をｃa倍して
ｃa(ab-1)(bc-1)≡ｃa（mod.abc）
一方で(ab-1)(bc-1)を展開すれば(ab-1)(bc-1)≡-ab-bc＋1（mod.abc）
だから、
(ab-1)(bc-1)(ca-1)＝(ab-1)(bc-1)ca－(ab-1)(bc-1)
　　　　　　　　　≡ab＋bc＋ca-1（mod.abc）
ゆえに(ab-1)(bc-1)(ca-1)とab＋bc＋ca-1のどちらかが
abcでわりきれたら他方もそうという関係です。

syotao · Answer

少し補足しておくと
ｘ≡0、（mod.a）（mod.b）（mod.c）というのは
ｘがa、b、cの公倍数ということです。
しかし公倍数は最小公倍数の倍数という定理があるので
ｘ≡0、（mod.a）（mod.b）（mod.c）ならば
ｘ≡0（mod.ｄ）ｄはa、b、cの最小公倍数ということになります。
なので
a、b、ｃのどの2つをとっても互いに素なら
a、b、ｃの最小公倍数は　abc　だから、このときは
ab+bc+ca-1≡0（mod.a）（mod.b）（mod.c）から
ab+bc+ca-1≡0（mod.abc）が即言えます。

endlessriver · Answer

#5の返信について。

難しすぎて私にはわかりませんでした。m(_ _)m

syotao · Answer

う～ん、さすがにb、cがaの倍数でないからb、cがaと互いに素
は言いすぎ（笑）たとえばa＝4、ｂ＝6、ｃ＝10

でもあなたがあげた③の式からb、cがaと互いに素が出てくるのを
見つけたのでそれを述べる：
a≡0（mod.a）なので③からbc-1≡0（mpd.a）これから
bc-1＝ｋaしたがってbc＝ｋa＋1と書ける。ｋは整数。･･･（1）
いまa、ｂの最大公約数を（a、b）等と書くことにすると
（1）とユークリッドの互除法から
（bc、a）＝（a、1）＝1、これから（ｂ、a）＝1、（ｃ、a）＝1
つまりｂ、ｃはaと互いに素である。おなじようにして
ca-1≡0（mod.b）から（ｃ、ｂ）＝1つまりｃがbと互いに素が出る。
結局a、b、ｃが互いに素だからあなたの目論見どおり
ab+bc+ca-1≡0（mod.abc）が出ます。
あなたの目の付けどころがすごい！

交代式と整数問題

(1) まず、(ab-1)(bc-1)(ca-1) は abc で割り切れるので、

何かヤラカシ臭い。

訂正

補足の証明は

補足について

さらに、他人の回答には興味が無く、自身の回答の評価を

(ab-1)(bc-1)(ca-1)≡0（mod.abc）を前提として

少し補足しておくと

#5の返信について。

う～ん、さすがにb、cがaの倍数でないからb、cがaと互いに素

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