不等式の証明

解決済

質問者：112233445
質問日時：2011/09/15 17:06
回答数：3件

a,b,cは実数、a+b>=c のとき、a^3+b^3+3abc>=c^3を示せ。

問題を見た瞬間は簡単に解けるのかと思いましたが、そうでもないのか。
つぎのような解答を考えましたが、これでいいのかというのが1つ。
あとは、もっと簡単にできるというのが1つ。この２つをよろしくお願いします。

(1)c=0のとき、a+b>=0のとき、a^3+b^3>=0をしめせばよい。
a=0の場合、b>=0のとき、b^3>=0をしめすことになるが、これは明らか。
a>0の場合、1+b/a>=0のとき、1+(b/a)^3>=0をしめすことになる。
これは1+x>=0のとき、1+x^3>=0を示すことになるが、y=x^3+1のグラフから、x=>-1 でy>=0
より成り立つ。a<0のときは、b>=0なならなければならないから、同様。
(2)c>0のとき、a/c+b/c>=1のとき、(a/c)^3+(b/c)^3+3(a/c)(b/c)>=1を示すことになる。
これは、x+y>=1のとき、x^3+y^3+3xy>=1を示すことになる。
ここで、x+y=kとおいて、y=k-xを代入して、左辺は、3(k-1)x^2-3k(k-1)x+k^3から
3(k-1)(x-k/2)^2+k^2(k+3)/4となり、k>=1からk^2(k+3)/4>=1だから、(左辺)>=1となる。
(3)c<0のときも(2)と同様に考える。

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回答 (3件)

No.3

回答者： staratras
回答日時：2011/09/15 18:01

有名な因数分解の問題a^3+b^3+c^3-3abcの応用ではないでしょうか

a^3+b^3-c^3+3abc=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)
=(1/2)(a+b-c)((a-b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2))

あとは考えてみてください。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
a^3+b^3+c^3-3abcは知っていましたが、
a^3+b^3-c^3+3abcははじめてです。

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お礼日時：2011/09/16 08:18

No.2ベストアンサー

回答者： rnakamra
回答日時：2011/09/15 17:43

これは

(左辺)-(右辺)=a^3+b^3^-c^3+3abc=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)

と変形してそれぞれの()の中≧0を証明したほうが簡単そう。

二つ目の()の中は
a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca=(1/2){(a^2-2ab+b^2)*(b^2+2bc+c^2)+(c^2+2ac+a^2)}
と変形すればわかるでしょう。