因数分解で・・・

a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3という因数分解があるのですが、解答によると

与式＝(b-c)^3a+b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3)+c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)－(1)

(1)の式を「ａについて整理」と書いてありました。その後に

＝-(b-c)a^3+{(b-c)^3+3bc(b-c)}a-bc(b^2-c^2)－(2)

このような式がきました。(1)から(2)のようにするには(1)をすべて展開し、同類項をまとめてからくくりなおすしか方法はないのでしょうか？解答お願いします！！

No.3 回答者： nekochari 回答日時： 2006/12/19 22:05

　この問題は結局コツコツとやるしかない問題で疲れますね。

(1)のようにしちゃったら、(2)へは、まあ展開して同類項をまとめて括りなおすということをしますが、#2さんのお書きになったように、展開といっても、(1)の後は、b がくっつくのと c がくっつくのだけですから、眺めながら、ある程度整理しながら書いていくことになります。
　なお、比較的エレガントな解法としては、(1)のように展開するのではなく、(x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y)を使って展開し、
与式初項 = ab^3 - ac^3 - 3abc(b-c)
与式第２項 = bc^3 - ba^3 - 3abc(c-a)
与式第３項 = ca^3 - cb^3 - 3abc(a-b)
と展開すると、上の各行の最後の項が打ち消し合って0になるので
（-3abc(b-c+c-a+a-b)=0)
与式 = ab^3 -ac^3 + bc^3 -ba^3 + ca^3 -cb^3
これを一つの文字（例えばa）について整理すると簡単です。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2006/12/19 17:49

展開するのが手っ取り早いのでしょう。

ただ、要領。
展開の式をいちいち書くまでもなく、
(b-c)^3a はおいといて、残りを a^3 の係数は？→
a^2 の係数は？→ a の係数は？→定数項は？
と順にみながら斜線で消しながら、まとめた式を同時
に書いていくとか。

b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3)をＡ、
c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)をＢとすれば、
a^3の係数・・Ａから-b,Ｂからc
a^2の係数・・Ａから3bc,Ｂから-3bc
a の係数・・Ａから-3bc^2,Ｂから3b^2c
　　　　　　　それから、はじめの(b-c)^3
定数項・・・Ａからbc^3,Ｂから-b^3c

というのを目で追いながら、消しながら、同時に
↓を書きながら、
(-b+c)a^3+(3bc-3bc)a^2+(-3bc^2+3b^2c+(b-c)^3)a+bc^3-b^3c
というふうに（余裕があれば共通因数でくくるのも同時に）。

No.1 回答者： aonegi 回答日時： 2006/12/19 16:04

(1)式の後に『aについて整理』とあるので、(1)式のb(c-a)^3とc(a-b)^3の２つを展開しましょう。

ということで展開してみましょう。


a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3…(1)

３乗の公式より

上式=a(b-c)^3+b(c^3-3c^{2}a+3ca^2+-a^3)+c(a^3-3a^{2}b+3ab^2-b^3)

ここでaに関して整理すると…

=(c-a)a^3+(3bc-3bc)a^2+{(b-c)^3-3bc^2+3b^{2}c}+bc^3-b^{3}c
=(c-a)a^3+( 0 )a^2+{ (b-c)^3+3bc(b-c) }-bc(b^2-c^2)

よって

=-(b-c)a^3+{(b-c)^3+3bc(b-c)}a-bc(b^2-c^2)－(2)