a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bc
となるそうですが、
b^3(c-a)+c^3(a-b)の部分が
b^3c-b^3a+c^3a-c^3b=-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bcとなるのだと思うのですが、この部分を詳しく教えてください。


特に自分がわからないのは、-(b-c)( )とした場合、b^3cはどう変わるのかが思いつきません

No.3 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/01/21 16:38

相手のレベルを考えずに回答する回答者（？）には困ったもんだ。

交代式・対称式なんか分るわけないだろう。

(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bc＝（b-c）*a＾3-（b-c）*（b＾2＋c＾2＋bc）*a＋bc*（b＋c）*（b-c）＝（b-c）*{a＾3-（b^2+bc+c^2）*a＋bc*（b＋c）}。

{　　}の中だけ計算すると
{　　}＝展開して次数の小さいbに揃えると＝（c-a）*b＾2＋c*（c-a）*b-a*（c＾2-a＾2）＝（c-a）*{b＾2＋bc-ac-a＾2}＝（c-a）*{（b＾2-a＾2）＋c*（b-a）}＝（c-a）*（b-a）*（a＋b＋c）。

結局は、a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)＝-（a-b）*（b-c）*（c-a）*（a＋b＋c）となる。

この回答へのお礼

{　}の中の説明は助かりました！

お礼日時：2010/01/22 10:28

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/21 11:13

　別解ですが、対称式・交代式の考え方を使いますと、比較的簡単に因数分解ができます。

　与えられた式はａ，ｂ，ｃについての交代式なので、次の３次の因数を持ちます。

　　（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ｃ－ａ）

　与えられた式は、ａ，ｂ，ｃについて４次の式なので、ａ，ｂ，ｃについての１次の対称式（ａ＋ｂ＋ｃ）を加えて、次のように表されます。

　Ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ｃ－ａ）　（Ａ：定数）　・・・（１）

　今、ａ＝０，ｂ＝１，ｃ＝２　を代入してみると、

　　（与式）＝２－８＝－６
　　式（１）＝Ａ×３×２＝６Ａ

となるので、　与式が式（１）と一致するためには　Ａ＝－１　であることが必要十分。

　∴　a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
　　＝－（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ｃ－ａ）


（参考）
対称式：　ａ←→ｂ、ｂ←→ｃ、ｃ←→ａと入れ替えても符号が変わらない式
交代式：　ａ←→ｂ、ｂ←→ｃ、ｃ←→ａ　と入れ替えると、元の式と符号が反転する式

http://www.geocities.jp/kubojie/pdf/math03.pdf

No.1 回答者： debut 回答日時： 2010/01/21 10:58

b^3c-b^3a+c^3a-c^3bで、aがある・なしで分けます。

-(b^3-c^3)a+(b^3c-c^3b)
すると、前半は３乗の公式で、後半は共通因数bcでくくられ
-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b^2-c^2)

これで、最後のb^2-c^2は(b-c)(b+c)なので、全体が(b-c)でくくる
ことができます。

次は、残りをｂで整理→(c-a)でくくる→残りをｃで整理、とやれば
完成します。