「ブロック機能」のリニューアルについて

a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bc
となるそうですが、
b^3(c-a)+c^3(a-b)の部分が
b^3c-b^3a+c^3a-c^3b=-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bcとなるのだと思うのですが、この部分を詳しく教えてください。


特に自分がわからないのは、-(b-c)( )とした場合、b^3cはどう変わるのかが思いつきません

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

相手のレベルを考えずに回答する回答者(?)には困ったもんだ。


交代式・対称式なんか分るわけないだろう。

(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b^2-c^2)bc=(b-c)*a^3-(b-c)*(b^2+c^2+bc)*a+bc*(b+c)*(b-c)=(b-c)*{a^3-(b^2+bc+c^2)*a+bc*(b+c)}。

{  }の中だけ計算すると
{  }=展開して次数の小さいbに揃えると=(c-a)*b^2+c*(c-a)*b-a*(c^2-a^2)=(c-a)*{b^2+bc-ac-a^2}=(c-a)*{(b^2-a^2)+c*(b-a)}=(c-a)*(b-a)*(a+b+c)。

結局は、a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-(a-b)*(b-c)*(c-a)*(a+b+c)となる。
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この回答へのお礼

{ }の中の説明は助かりました!

お礼日時:2010/01/22 10:28

 別解ですが、対称式・交代式の考え方を使いますと、比較的簡単に因数分解ができます。




 与えられた式はa,b,cについての交代式なので、次の3次の因数を持ちます。

  (a-b)(b-c)(c-a)

 与えられた式は、a,b,cについて4次の式なので、a,b,cについての1次の対称式(a+b+c)を加えて、次のように表されます。

 A(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) (A:定数) ・・・(1)

 今、a=0,b=1,c=2 を代入してみると、

  (与式)=2-8=-6
  式(1)=A×3×2=6A

となるので、 与式が式(1)と一致するためには A=-1 であることが必要十分。

 ∴ a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
  =-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)


(参考)
対称式: a←→b、b←→c、c←→aと入れ替えても符号が変わらない式
交代式: a←→b、b←→c、c←→a と入れ替えると、元の式と符号が反転する式

http://www.geocities.jp/kubojie/pdf/math03.pdf
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b^3c-b^3a+c^3a-c^3bで、aがある・なしで分けます。



-(b^3-c^3)a+(b^3c-c^3b)
すると、前半は3乗の公式で、後半は共通因数bcでくくられ
-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b^2-c^2)

これで、最後のb^2-c^2は(b-c)(b+c)なので、全体が(b-c)でくくる
ことができます。

次は、残りをbで整理→(c-a)でくくる→残りをcで整理、とやれば
完成します。
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