確率の問題について教えてください

確率の問題について2問解き方を教えていただきたいです。

P(A|B)=0.8,P(A|Bc)=0.1,P(B|A)=0.5
cは余自称とする。

1.P(A∩Bc) = xP(A∩B)のxを求めよ
2.P(B)を求めよ

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/16 16:53

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.8…①

P(A|-B)=P(A-B)/P(-B)=0.1…②
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.5…③

1.
P(A-B)=xP(A∩B)…④

P(A-B)+P(A∩B)=P(A)
P(A-B)=P(A)-P(A∩B)…⑤

③から
P(A∩B)/P(A)=0.5
↓両辺に2P(A)をかけると
2P(A∩B)=P(A)
↓これを⑤のP(A)に代入すると
P(A-B)=2P(A∩B)-P(A∩B)
P(A-B)=P(A∩B)…⑥
↓これと④から
∴
x=1

2.
①から
P(A∩B)/P(B)=0.8
↓両辺に5P(B)をかけると
5P(A∩B)=4P(B)
↓これを⑥に代入すると
5P(A-B)=4P(B)…⑦

②から
P(A-B)/P(-B)=0.1
↓両辺に10P(-B)をかけると
10P(A-B)=P(-B)
2(5P(A-B))=P(-B)
↓この5P(A-B)に⑦を代入すると
2(4P(B))=P(-B)
8P(B)=P(-B)
↓P(-B)=1-P(B)だから
8P(B)=1-P(B)
↓両辺にP(B)を加えると
9P(B)=1
↓両辺を9で割ると
∴
P(B)=1/9

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/17 00:53

条件付き確率の定義より、

0.8 = P(A|B) = P(A∩B)/P(B),　　…[1]
0.1 = P(A|Bc) = P(A∩Bc)/P(Bc),　…[2]
0.5 = P(B|A) = P(A∩B)/P(A).　　…[3]
また、
1 = P(B) + P(Bc)　　　　　　　　…[4]
P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc)　　　…[5]

[1][2][3][4][5] を P(A∩B), P(A∩Bc), P(B), P(Bc), P(A) の
連立一次方程式として解くと、
P(A) = 8/45,
P(B) = 1/9,
P(Bc) = 8/9,
P(A∩B) = 4/45,
P(A∩Bc) = 4/45.

1.　x = P(A∩Bc)/P(A∩B) = (4/45)/(4/45) = 1.
2.　既に答えは出ている。 P(B) = 1/9.