某大学の過去問・・・

a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=4，1/a + 1/b + 1/c =1を満たす時、
(1)ab+bc+ca
(2)1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
(3)(b/a + a/b)(c/b + b/c)(a/c + c/a)
の値を求めよ。

という問題なのですが、(1)～(3)の式をどう変形して代入すればいいのか分かりません；
どなたか教えてください！お願いします！

No.4 回答者： shibainumodoki 回答日時： 2005/06/23 00:40

まず、1/a + 1/b +1/c =1　を通分すると、

(bc+ca+ab)/abc =1　となり　ab+bc+ca=abc になりますね。
また、(a+b+c)^2=a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+bc+ca)　と条件式を用いて、
　1^2 =4 + 2(ab+bc+ca) より　
ab+bc+ca =abc =　-3/2 が出ますね。
よって(1)の答えは　-3/2

(2)、(3)は、素直に計算する方法もありますが、面倒だしせっかく　a+b+c , ab+bc+ca ,abc が求まっているので、３次方程式の『解と係数の関係』を用いてみるのはどうでしょう。
a,b,c を解に持つ３次方程式の１つは
　解と係数の関係より
　f(x)=x^3 -x^2 -(3/2)x +3/2=0 なのでこれを解いてみて、(2),(3)を適当に式変形して代入してみては？

No.3 回答者： koma1000nin 回答日時： 2005/06/22 23:25

(1)は（a＋b＋c)^2＝1を展開して移項すれば回答に接近すると思うね。

(2)は（1/a＋1/b＋1/c)^2＝1を展開すれば見えてくるだろう。
(3)はまじめに計算することでしょうか。そのとき、(1)と(2)の結果を利用
　する方針で解いてみてください。

No.2 回答者： Josquin 回答日時： 2005/06/22 21:45

a, b, cを入れ換えても値が変わらない対称式は、基本対称式a+b+c, ab+bc+cs, abcで表せます。

条件式から基本対称式の値を求めて、それを利用していきましょう。
a+b+c=1の両辺を二乗したり、1/a + 1/b + 1/c =1を通分したりすれば、何か見えてきませんか？

No.1 回答者： bandgap 回答日時： 2005/06/22 21:43

(a+b+c)^2 を解いてみては？