1つの頂点が原点にある三角形の面積の式を、何故この式を使うのか説明して頂ける方いませんか?

※かける記号×をxエックスと間違えないように✖︎としています。

直接ABは2点(a,b)(c,d)を通るので、傾き＝b－d/a－c
またA(a,b)を通ることから
❶y＝b－d/a－c(x－a)+b
❷＝b－d/a－c✖x－ab+ad/a－c+b
❸＝b－d/a－c✖︎x+ad－bc/a－c
❹C座標は(0,ad－bc/a－c)
❺△〇AB＝(a－c)×(ad－bc/a－c)✖︎1/2

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  面積の計算に使う値は、－cなど、マイナスがついている場合はありますが、答えは実数でいいですか?曖昧に覚えているため、更に質問してしまい、すみません。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/07 16:54

No.4 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/07 14:48

グラフ上に △OAB を書いてみると 分かり易いと思いますよ。

O は原点で 座標は (0, 0) 、A は第1象限で (a, b) ,
B は 第2象限で (c, d) とします。（第2象限ですから c<0 です。）
直線 AB と y 軸との交点を C とすると、
求める 三角形の面積は △OCA+△OCB となりますね。
共に OC を底辺と見れば その値は 点C のｙ座標になりますね。
で、三角形の高さは それぞれ 点A, B の ｘ座標になりますね。
（上にも書いたように c<0 ですから、面積の計算では -c となります。）

勿論 点A, B 共に 第1象限でも 同じ考えで 答えが出ます。
この場合は a>b ならば △OAB=△OCA-△OCB となります。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/07 18:59

＞答えは実数でいいですか?

図形上の距離ですから、当然「実数」です。
尚、負数も 実数の仲間ですよ。
面積や 図面上の距離が 負数になる事は ありませんが。

この回答へのお礼

実数で良いのですね。わかりました。負の数も仲間なんですね、マイナスを取れば、符号がついていても数字のみを答えにする実数と変わらないですもんね。ありがとうございます。

お礼日時：2023/09/07 20:06

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/06 10:49

＞傾き＝b－d/a－c

傾きは
　傾き = (b - d)/(a - c)
ですね。
あなたの式は
　b - (d/a) - c
としか読めません。
❶～❺の式も滅茶苦茶ですね。どう読んだらよいのか・・・。
「エックス」と「かけ算記号」を分けるだけの「心遣い」があるのなら、ちゃんと「四則演算の計算順序」を考慮して「適切にカッコを使う」心がけも必要でしょう。


AB を通る式は、「傾き」が分かっていれば、適当な定数 k を使って

　y = [(b - d)/(a - c)]x + k　　　①

と書けます。

①の式上に A(a, b) があるので、

　b = [(b - d)/(a - c)]a + k　　　②

よって、
　k = b - [(b - d)/(a - c)]a
これを①に代入すれば

　y = [(b - d)/(a - c)]x + b - [(b - d)/(a - c)]a
　　= [(b - d)/(a - c)](x - a) + b　　　　　　　　③

これが❶ですね。

③の (x - a) を展開すれば

　y = [(b - d)/(a - c)]x - [(b - d)/(a - c)]a + b
　　= [(b - d)/(a - c)]x - (ab - ad)/(a - c) + b

これが❷かな。

定数項を通分してまとめれば

　y = [(b - d)/(a - c)]x - (ab - ad)/(a - c) + (ab - bc)/(a - c)
　　= [(b - d)/(a - c)]x + (ad - bc)/(a - c)

これが❸かな。

❹からすると、Ｃって「AB を結ぶ直線の y 切片」ですね。

従って、△OAB の面積は、ABの位置によって
a>c>0 なら
　△OAB ＝ △OCA - △OCB
で、
　△OCA：底辺を OC、高さをＡのｘ座標つまり「a」とする三角形
　△OCB：底辺を OC、高さをＢのｘ座標つまり「c」とする三角形
なので

　△OAB ＝ (1/2)OC･a - (1/2)OC･c
　　　　 = (1/2)|(ad - bc)/(a - c)|(a - c)

絶対値で書いたのは、
　(ad - bc)/(a - c) < 0
のこともあり得るからです。
　(ad - bc)/(a - c) > 0
であれば

　　△OAB = (1/2)[(ad - bc)/(a - c)](a - c)
　　　　　= (1/2)(ad - bc)

となります。これが❺かな。

上の式は「a>c>0」の場合ですが、これが逆転したり負になることもあるので、その場合に式がどうなるかはそれぞれ吟味しないといけません。
そういった a, b, c, d の大小関係、正負などによって、❺の式が常にいえるのか、ご自分で調べてみてください。
図を書いてみるのが一番分かりやすいかな。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
回答を拝見させて頂き、ただただ、凄いなと思いました。
正直言うと、書いて頂いた内容の半分以上は理解出来ていないと思いますが、式が省略されているということは分かりました。
とても丁寧に、それから見易い式で、自分で見返しても、おっしゃるように分かり難い式だと思いました。私も次回から()を活用して式を書きたいと思います。

お礼日時：2023/09/07 14:02

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/09/06 10:27

ベクトル　OA=<a,b>, OB=<c,d> とするとOA,OBを辺

とする平行四辺形の面積は　|<a,b>×<c,d>|=ad-bc
すると3角形OABの面積は　(ad-bc)/2

この回答へのお礼

ありがとうございます。
分かり難い式を、まとめて頂きありがとうございます。

お礼日時：2023/09/07 14:03

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2023/09/06 10:19

Ｙ軸切片を点Ｃとすると

△ＯＡＢ＝△ＯＡＣー△ＯＢＣ
ですよね。
ということは・・・
この場合、底辺をＯＣとして、Ｘ軸方向に高さとした方が考えやすそうです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。考え方を参考にします。

お礼日時：2023/09/07 14:26