ロルの定理のcで、f(c)が極値になるものは常に存在するのでしょうか？

以下のロルの定理では、実数 c が存在して、f ′ (c)=0となりますが、
それらの c の中には、f(c)が極値になるものが常に存在するのでしょうか？
それとも、どのc の中にも、f(c)が極値になるものは存在しないことがあるのでしょうか？

存在する場合は証明を、存在しない場合は反例を教えていただけますとありがたく思います。

ロルの定理
閉区間 [a,b] で連続でかつ開区間 (a,b) で微分可能である関数 f(x) に対して，
等式f(a)=f(b)=0が成り立つ
ならば
f ′ (c)=0，　a<c<bを満たす実数 c が存在する．

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/09 21:14

１．

ロルの定理は f(a)=f(b) だけで「=0」は付いていません。

２．
結論は 「f'(c)=0 となる cのうち、f(c)が極値となるものが必ず存在
する」です。

３．
閉区間 [a,b] で連続な関数f(x)には必ず最大最小が存在する。
そこで f(x)の最大・最小をM,mとする。

①M=mのとき
　f(x)=M(=m)
となる。すると ∀x∈(a,b)で、f(x)≧M または　f(x)≦M となり、
定義から、xで極値（極大かつ極小）となる。つまりf'(x)=0 となる。

②M≠mのとき
(a) f(a)=f(b)=Mのとき
f(a)=f(b)≠m だから f(c)=m となる cは
c∈(a,b)である。すると、​f(x)≧m=f(c) となり、定義から cでfは極小
でもある。すると f'(c)=0 となる。

(b) f(a)=f(b)≠Mのとき
c∈(a,b)となる cが存在して f(c)=M となる。
このとき、f(x)≦f(c)=M である。定義から cでfは極大でもある。
すると f'(c)=0 となる。

(c)
上の(a)(b)はMを使って議論したが、mの場合は f → -f として議論
すれば同じ結論を得る。

以上から、２項の結論が証明された。


なお、最大最小の時 f'(c)=0 は下記を参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%AB …

この回答へのお礼

誠にありがとうございます。

極値という概念には、「＞」「＜」により狭義と、「≧」「≦」による広義があると思いますが、ご解答では広義なのですね。

また、狭義の意味だと、f(x)=定数　のように、極値を持たないこともあるのですね。

僕の質問内容はあいまいで申し訳なかったです。
高校の教科書では、極値は、狭義の意味でした。
たぶん、一般にも狭義の意味が多いかもしれません。

ありがとうございました。

お礼日時：2021/12/09 22:59

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/10 08:16

そうです。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4