絶対値を含む不等式の証明

絶対値を含む不等式の証明

以下のような問題がありました。

問題：不等式　ｌa+bｌ≦ｌaｌ+ｌbｌ・・・(1)を利用し

　　　　不等式 ｌaｌ-ｌbｌ≦ｌa+bｌ・・・(2)を証明せよ

解答：(1)の不等式でaの代わりにa+b、bの代わりに-bとおくと

　　　　ｌ（a+b）+（-b）ｌ≦ｌa+bｌ+ｌ-bｌ

よって　ｌaｌ≦ｌa+bｌ+ｌbｌ

ゆえに　ｌaｌ-ｌbｌ≦ｌa+bｌ



私は全く違う方法で解きましたが

この解答の最初の行の説明が全く理解できません

なぜa+b、-bという具体的なものがわかるのですか？

教えてください。

御願い致します。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/10 19:29

少し前にも、同じ質問をされましたね。

そのときも書いたことですが…

証明が正しいかどうかは、論理的に検証できますが、
どうやってその証明を見つけるかを
論理で導出することはできません。
要は、ゴーストがささやくか否かです。

もし、理詰めで証明がみつかるものならば、
人間が頭をひねるよりも、
コンピュータに任せたほうが早くて確実。
そうでないからこそ、数学の存在意義があるのです。

御精進。

No.2 回答者： BO-BO-keshi 回答日時： 2010/04/10 17:40

こんにちは。

質問者様の質問の意図の確認ですが、
『解答の意味は分かるが、なぜ a+b とか -b が出てきたのか？』
という事で間違いないでしょうか？

間違いないとして、以下私なりの考えを回答します。

数学の解答というのは『論理的』であればいい為、
「なぜそう考えるに至ったか」が表現されない事が多いですね。
数学の力を養う上で、そういう点こそ大事だと私は思います。

私は質問文の模範解答を作成した本人ではないので(笑)、
その人が「なぜそう考えるに至ったか」は分かりませんが、
推測するに以下のような流れではないでしょうか？

【ステップ１】
　・［不等式１］を使って［不等式２］を証明しなさい。
　・［等式１］を使って［等式２］を証明しなさい。
このようなタイプの問題では、
［不等式１］の文字を別な式で置き換えることで
［不等式２］が出てくる場合があったなぁ。

【ステップ２】
（いろいろと試行錯誤してみた結果）
a を a+b で、b を -b で置き換えると
うまくいくではないか！

【ステップ３】
点数をもらう為には、考えた経過を書く必要ないから、
論理的に間違いがないようにだけ書いておこう。

ポイントは【ステップ１】だと思います。
【ステップ１】にあるような経験をしていれば
質問文の模範解答に行き着きやすかったと思います。

No.1 回答者： noname#132116 回答日時： 2010/04/10 17:26

確かに、ヒントなしで「(1)の不等式でaの代わりにa+b、bの代わりに-bとおく」

を思いつくのは難しいかもしれませんね。
こんな感じでどうでしょうか(証明丸ごとです）？

証明
　ｌaｌ-ｌbｌ≦ｌa+bｌ・・(1)　　　
⇔ｌaｌ≦ｌa+bｌ+ｌbｌ・・(2)
⇔ｌ（a+b）+（-b）ｌ≦ｌa+bｌ+ｌ-bｌ・・(3)
⇔ｌa+bｌ≦ｌaｌ+ｌbｌ・・(4)
(1)を示すには、(4)を示せばよいことがわかった。しかし、(4)が成り立つことは仮定されているので、示せた。
証明終了

質問者さんが(1)、(2)としているところを、(4)、(1)としてしまいました。
なお、「⇔」は、「⇒」がどちら向きにも成り立つことを表していて、例えば(1)⇔(2)は、(1)ならば(2)かつ(2)ならば(1)を表しています。

(1)⇔(2)：両辺にｌbｌを足して同値変形
(2)⇔(3)：ｌa+bｌ≦ｌaｌ+ｌbｌの形になるよう同値変形
(3)⇔(4)：a+b、-bをa、bに置き換える
要するに、ｌa+bｌ≦ｌaｌ+ｌbｌの形にしようと意識しながらやればいいのです。

少し長くなってすみません。お分かりいただけたら幸いです。