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絶対値を含む不等式の証明

以下のような問題がありました。

問題:不等式 la+bl≦lal+lbl・・・(1)を利用し

    不等式 lal-lbl≦la+bl・・・(2)を証明せよ

解答:(1)の不等式でaの代わりにa+b、bの代わりに-bとおくと

    l(a+b)+(-b)l≦la+bl+l-bl

よって lal≦la+bl+lbl

ゆえに lal-lbl≦la+bl



私は全く違う方法で解きましたが

この解答の最初の行の説明が全く理解できません

なぜa+b、-bという具体的なものがわかるのですか?

教えてください。

御願い致します。

A 回答 (3件)

少し前にも、同じ質問をされましたね。


そのときも書いたことですが…

証明が正しいかどうかは、論理的に検証できますが、
どうやってその証明を見つけるかを
論理で導出することはできません。
要は、ゴーストがささやくか否かです。

もし、理詰めで証明がみつかるものならば、
人間が頭をひねるよりも、
コンピュータに任せたほうが早くて確実。
そうでないからこそ、数学の存在意義があるのです。

御精進。
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こんにちは。



質問者様の質問の意図の確認ですが、
『解答の意味は分かるが、なぜ a+b とか -b が出てきたのか?』
という事で間違いないでしょうか?

間違いないとして、以下私なりの考えを回答します。

数学の解答というのは『論理的』であればいい為、
「なぜそう考えるに至ったか」が表現されない事が多いですね。
数学の力を養う上で、そういう点こそ大事だと私は思います。

私は質問文の模範解答を作成した本人ではないので(笑)、
その人が「なぜそう考えるに至ったか」は分かりませんが、
推測するに以下のような流れではないでしょうか?

【ステップ1】
 ・[不等式1]を使って[不等式2]を証明しなさい。
 ・[等式1]を使って[等式2]を証明しなさい。
このようなタイプの問題では、
[不等式1]の文字を別な式で置き換えることで
[不等式2]が出てくる場合があったなぁ。

【ステップ2】
(いろいろと試行錯誤してみた結果)
a を a+b で、b を -b で置き換えると
うまくいくではないか!

【ステップ3】
点数をもらう為には、考えた経過を書く必要ないから、
論理的に間違いがないようにだけ書いておこう。

ポイントは【ステップ1】だと思います。
【ステップ1】にあるような経験をしていれば
質問文の模範解答に行き着きやすかったと思います。
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確かに、ヒントなしで「(1)の不等式でaの代わりにa+b、bの代わりに-bとおく」


を思いつくのは難しいかもしれませんね。
こんな感じでどうでしょうか(証明丸ごとです)?

証明
 lal-lbl≦la+bl・・(1)   
⇔lal≦la+bl+lbl・・(2)
⇔l(a+b)+(-b)l≦la+bl+l-bl・・(3)
⇔la+bl≦lal+lbl・・(4)
(1)を示すには、(4)を示せばよいことがわかった。しかし、(4)が成り立つことは仮定されているので、示せた。
証明終了

質問者さんが(1)、(2)としているところを、(4)、(1)としてしまいました。
なお、「⇔」は、「⇒」がどちら向きにも成り立つことを表していて、例えば(1)⇔(2)は、(1)ならば(2)かつ(2)ならば(1)を表しています。

(1)⇔(2):両辺にlblを足して同値変形
(2)⇔(3):la+bl≦lal+lblの形になるよう同値変形
(3)⇔(4):a+b、-bをa、bに置き換える
要するに、la+bl≦lal+lblの形にしようと意識しながらやればいいのです。

少し長くなってすみません。お分かりいただけたら幸いです。



     
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