Ix-1I=2を解く時にはx-1=±2を解きます。なのにIx-1I=2xを解くのはなぜ1つ目の例と同

Ix-1I=2を解く時にはx-1=±2を解きます。なのにIx-1I=2xを解くのはなぜ1つ目の例と同じように絶対値を外して右辺に±を付けずに、左辺の場合分けをするのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： taunamlz 回答日時： 2023/04/05 16:07

例えば

|x+3|=2x

を解くことを考えます。

ここで
x+3=±2x
とした場合、
x±2x=-3
ですから、
x=3
と
x=-1
が答えとなります。

では、元の式にxを代入してみます。

x=3を代入すると
|3+3|=2*3
|6|=6
なので、正しいことがわかります。

x=-1を代入すると
|-1+3|=2*-1
|2|=-2
となります。
2の絶対値は-2ではありませんので、これは間違いであることがわかります。

この検算を簡単にするために場合分けをします。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/05 21:07

|x-1|=2x の場合は 左辺は絶対値記号が付いていますから 正 です。

従って 右辺の 2x も正でなければなりません。
つまり x-1=±2x とした場合は 答の正誤を吟味する必要があります。

No.5 回答者： BAY19981026 回答日時： 2023/04/05 17:12

基本はxの値で場合分けするのが正しいです。

|x-1|=2xのとき、x-1=±2xにするとx=1/3,-1となりますが、-1は解になりません。
|x-1I=2のような式でも例えば|x-1I=-2のようなときはx-1=±2とすると、x=-1,3となりますが、実際には解がありません。
これはグラフを書けばよく解るのですが、
y=|x-1|のグラフが、x軸に対して折り返しのグラフになるのに対して、y=±(x-1)のグラフは(1,0)で2本の直線が交差するグラフになります。これにy=2とy=2xのグラフを重ねると違いがよく解ると思います。
場合分けしないと現実には存在しない点が交点になってしまうのです。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/05 16:29

Ix-1I = 2 も Ix-1I = 2x も、解き方は同じで

Ix-1I = 2　⇔　±(x-1) = 2 ≧ 0,
Ix-1I = 2x　⇔　±(x-1) = 2x ≧ 0　です。

Ix-1I = 2 の場合、
2 > 0 が自明なので放っといてあるのと、
±(x-1) = 2 の両辺を ±1 で割って変形してあるだけです。
絶対値を外して ± を付けてあるのは、同じですよ。

Ix-1I = 2x のほうは、
x-1 の符号で場合分けすることで
±(x-1) = 2x ≧ 0 の式から ± を消しているのです。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/04/05 15:45

最初の式は(x-1)がプラスになる場合と、マイナスになる場合に対応すればよいで場合分けをするにしても、2つに分ければ済みます。

±で解くのと同じことです。
二番めの式は(x-1) だけでなく、2x もプラスになる場合と、マイナスになる場合があるので、それぞれの状況を考えると、（最初は）三つに場合分けして考える必要があります。

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2023/04/05 15:38

絶対値の有効範囲が、左辺だけなので、右辺のｘと意味が違い

場合分けしか、回答が出せないからです。